Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị km), Trái đất được mô phỏng là mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R = 6400\) và đường xích đạo được xem là đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu mô phỏng trái đất và mặt phẳng \((Oxy)\). Tại Bắc Cực \(I(0;0;6400)\), Bộ chỉ huy thiết lập một "Vòm An Ninh". Vùng an toàn này là một mặt cầu tâm \(I\) có bán kính quét là \({R_q} = 1280\sqrt {10} \). Bất kỳ tàu nào đi vào biên giới của vùng này sẽ được bảo vệ tuyệt đối. Siêu điệp viên Alpha đang ẩn náu tại tọa độ \(M(0;5120;3840)\). Anh nhận được mật lệnh: "Phải di chuyển từ vị trí hiện tại xuống đường Xích đạo để kích hoạt thiết bị định vị, sau đó lập tức rút lui về ranh giới Vòm An Ninh tại điểm nhập \(K\) theo lộ trình ngắn nhất để tẩu thoát." Biết vận tốc di chuyển của Alpha là \({v_A} = 60km/h\). Cùng lúc đó, tàu truy kích Beta đang phục kích tại vị trí \(N(0; - 6400;0)\). Ngay khi Alpha xuất phát, Beta tính toán được chính xác điểm \(K\) và lao đến đó để chặn đầu. Tàu Beta phải duy trì vận tốc tối thiểu là bao nhiêu \(km/h\) để có thể chặn đầu Alpha trước lúc điệp viên này vào ranh giới an toàn?

(Xem vận tốc của Alpha và Beta là chuyển động đều và hai tàu di chuyển trên mặt của khối cầu. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

 

Đáp án: \(84,6\).

1. Thiết lập hệ tọa độ và xác định các thực thể

Mặt cầu Trái Đất \(\left( S \right)\): Tâm \(O(0,0,0)\), bán kính \(R = 6400\) km. Phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {6400^2}\)

Vòm An Ninh \(\left( {S'} \right)\) là mặt cầu tâm \(I(0;0;6400)\), bán kính quét \({R_q} = 1280\sqrt {10} \) km.

Vị trí Alpha: \(M(0;5120;3840)\).

Vị trí Beta: \(N(0; - 6400;0)\).

2. Xác định ranh giới Vòm An Ninh và điểm nhập K

Ranh giới Vòm An Ninh là đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\left( {S'} \right)\). Tọa độ các điểm thuộc ranh giới thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {{6400}^2}\quad (1)}\\{{x^2} + {y^2} + {{(z - 6400)}^2} = {{(1280\sqrt {10} )}^2}\quad (2)}\end{array}} \right.\)

Thay \({x^2} + {y^2} = {6400^2} - {z^2}\) từ (1) vào (2), ta có: \(({6400^2} - {z^2}) + ({z^2} - 12800z + {6400^2}) = 16384000\)

\( \Leftrightarrow 2 \cdot {6400^2} - 12800z = 16384000\)

\( \Leftrightarrow 81920000 - 12800z = 16384000 \Leftrightarrow z = 5120\)

Với \(z = 5120\) và \(x = 0\) (do các điểm đang xét nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)), tìm được \(y = 3840\)

Vậy điểm nhập \(K\) có tọa độ: \(K(0;3840;5120)\).

3. Tính toán lộ trình và thời gian của điệp viên Alpha

Lộ trình của Alpha gồm hai giai đoạn di chuyển trên mặt cầu: từ \(M\) xuống Xích đạo (tại điểm \({M_1}\)) và từ \({M_1}\) đến điểm \(K\).

Giai đoạn 1 (\(M \to {M_1}\)): Alpha đi từ \(M(0;5120;3840)\) xuống điểm \({M_1}(0;6400;0)\) trên đường Xích đạo.

o    \(\cos (\widehat {MO{M_1}}) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {O{M_1}} }}{{|\overrightarrow {OM} | \cdot |\overrightarrow {O{M_1}} |}} = \frac{{5120 \cdot 6400}}{{{{6400}^2}}} = 0,8\).

Giai đoạn 2 (\({M_1} \to K\)): Alpha đi từ \({M_1}(0;6400;0)\) đến \(K(0;3840;5120)\).

o    \(\cos (\widehat {{M_1}OK}) = \frac{{\overrightarrow {O{M_1}} \cdot \overrightarrow {OK} }}{{|\overrightarrow {O{M_1}} | \cdot |\overrightarrow {OK} |}} = \frac{{6400 \cdot 3840}}{{{{6400}^2}}} = 0,6\).

Vì \(0,{8^2} + 0,{6^2} = 1\), nên \(\widehat {MO{M_1}} + \widehat {{M_1}OK} = {90^ \circ }\).

Quãng đường Alpha (\({S_A}\)): \({S_A} = R \cdot \frac{\pi }{2} = 6400 \cdot \frac{\pi }{2} = 3200\pi \) (km).

Thời gian Alpha di chuyển (\({t_A}\)): \({t_A} = \frac{{{S_A}}}{{{v_A}}} = \frac{{3200\pi }}{{60}} = \frac{{160\pi }}{3}\) (giờ).

4. Tính vận tốc tối thiểu của tàu truy kích Beta

Beta xuất phát từ \(N(0; - 6400;0)\) để chặn đầu Alpha tại \(K(0;3840;5120)\).

Góc quét \(\widehat {NOK}\): \(\cos (\widehat {NOK}) = \frac{{\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {OK} }}{{|\overrightarrow {ON} | \cdot |\overrightarrow {OK} |}} = \frac{{( - 6400) \cdot 3840}}{{{{6400}^2}}} = - 0,6\).

\[ \Rightarrow sd\left( {ON,OK} \right) = \arccos ( - 0,6) \approx 2,2143\] rad.

Quãng đường Beta (\({S_B}\)): \({S_B} = R \cdot sd\left( {ON,OK} \right) = 6400 \cdot \arccos ( - 0,6) \approx 14171,5\) (km).

Vận tốc tối thiểu (\({v_B}\)): \({v_B} = \frac{{{S_B}}}{{{t_A}}} = \frac{{14171,5}}{{\frac{{160\pi }}{3}}} \approx 84,58\).

Làm tròn đến hàng phần chục, vận tốc tối thiểu tàu Beta cần duy trì là: \({v_B} \approx 84,6{\rm{ km/h}}\)