Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị km), Trái đất được mô phỏng là mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R = 6400\) và đường xích đạo được xem là đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu mô phỏng trái đất và mặt phẳng \((Oxy)\). Tại Bắc Cực \(I(0;0;6400)\), Bộ chỉ huy thiết lập một "Vòm An Ninh". Vùng an toàn này là một mặt cầu tâm \(I\) có bán kính quét là \({R_q} = 1280\sqrt {10} \). Bất kỳ tàu nào đi vào biên giới của vùng này sẽ được bảo vệ tuyệt đối. Siêu điệp viên Alpha đang ẩn náu tại tọa độ \(M(0;5120;3840)\). Anh nhận được mật lệnh: "Phải di chuyển từ vị trí hiện tại xuống đường Xích đạo để kích hoạt thiết bị định vị, sau đó lập tức rút lui về ranh giới Vòm An Ninh tại điểm nhập \(K\) theo lộ trình ngắn nhất để tẩu thoát." Biết vận tốc di chuyển của Alpha là \({v_A} = 60km/h\). Cùng lúc đó, tàu truy kích Beta đang phục kích tại vị trí \(N(0; - 6400;0)\). Ngay khi Alpha xuất phát, Beta tính toán được chính xác điểm \(K\) và lao đến đó để chặn đầu. Tàu Beta phải duy trì vận tốc tối thiểu là bao nhiêu \(km/h\) để có thể chặn đầu Alpha trước lúc điệp viên này vào ranh giới an toàn?

(Xem vận tốc của Alpha và Beta là chuyển động đều và hai tàu di chuyển trên mặt của khối cầu. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

 

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ, với \(O(0;0;0)\) là tâm hình vuông \[ABCD\].

Khi đó tọa độ các điểm là: \(A(3; - 3;0)\), \(B(3;3;0)\), \(S(0;0;4)\).

Nguồn sáng \(I\) nằm trên trục \[Oz\]nên \(I(0;0;a)\) với \(2 < a < 4\).

a) ĐÚNG

Ta có \(AB = 6{\rm{m}}\), \(EA = FB = 1{\rm{m}}\) nên \(EF = 4{\rm{m}}\).

Do \[H,G\] lần lượt là trung điểm của \[SE,SF\] nên \[HG\] là đường trung bình của \[\Delta SEF\].

Suy ra \(HG = \frac{1}{2}EF = 2{\rm{m}}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] \( \Rightarrow SM = \sqrt {O{M^2} + S{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

\(\Delta SAB\) cân tại \(S\), \(M\) là trung điểm của \[AB\]\( \Rightarrow SM \bot AB\). Kẻ \(MK \bot AB \Rightarrow MK\) là đường trung bình \[\Delta SEM \Rightarrow HK = \frac{1}{2}SM = \frac{5}{2} = 2,5\].

Diện tích cửa lều: \({S_{EFGH}} = \frac{{(EF + HG).HK}}{2} = \frac{{(4 + 2).2,5}}{2} = 7,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

b) ĐÚNG

Khi \(a = 3\), ta có \(I(0;0;3)\).

Khoảng cách xa nhất từ bóng đèn đến người nằm trong vùng có ánh sáng là \(IH'\).

\[H\] lần lượt là trung điểm \[SE\]. Với \(S(0;0;4)\) và \(E(3; - 2;0)\) thì \(H(1,5; - 1;2)\).

Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;3)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1; - 1)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow 3 - t = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow \)Tọa độ \(H'(4,5; - 3;0)\).

Khoảng cách xa nhất là \(IH' = \sqrt {4,{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {38,25} \approx 6,18{\rm{m}}\).

c) ĐÚNG

Người ta trải một tấm thảm đỏ rộng \(4{\rm{m}}\) dài \(6{\rm{m}}\) sao cho cạnh ngắn nhất vừa khít với cửa lều.

Vậy thảm đỏ là hình chữ nhật \[EFJQ\] và \(EQ{\rm{//}}Ox \Rightarrow {x_Q} = 3 + 6 = 9 \Rightarrow Q\left( {9; - 2;0} \right)\)_.

Để ánh sáng phủ trọn hết chiều dài tấm thảm đỏ \(6{\rm{m}}\)tức là Q và J phải nằm trong miền hình thang \[EFG'H'\]\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} \ge {x_Q} = 9\\{y_{H'}} \le {y_Q} = - 2\end{array} \right.\).

Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;a)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1;2 - a)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = a + \left( {2 - a} \right)t}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow a + \left( {2 - a} \right)t = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - a}}{{2 - a}} = \frac{a}{{a - 2}} \Rightarrow \)Tọa độ \(H'\left( {\frac{{1,5a}}{{a - 2}}; - \frac{a}{{a - 2}};0} \right)\).

Do \[2 < a < 4 \Rightarrow a - 2 > 0\].

d) ĐÚNG

Ban quản lý yêu cầu vùng sáng phải phủ kín thảm đỏ nên \[2 < a \le 2,4\].

Để không chạm mép hồ, yêu cầu \({x_{H'}} < 3 + 9 = 12 \Rightarrow \frac{{1,5a}}{{a - 2}} < 12 \Leftrightarrow 1,5a < 12\left( {a - 2} \right) \Leftrightarrow a > \frac{{16}}{7}\).

Suy ra \[\frac{{16}}{7} < a \le 2,4\]m.

Vậy độ cao treo đèn \(a\) chỉ có thể nằm trong khoảng \(\left( {\frac{{16}}{7};2,4} \right]{\rm{ m\'e t}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Theo đề bài ta có: \(P\left( B \right) = 0,6;\,\,P\left( {\overline B } \right) = 0,4;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0,9;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\)

Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu là:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,9 + 0,4.0,15 = 0,6\) hay \(60\% \).

b) Đúng.

Tỉ lệ người đã trả lời "không xem" khi phỏng vấn trong số những người thực sự xem trận đấu là: \(P\left( {\overline B |A} \right) = \frac{{P\left( {\overline B A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,15}}{{0,6}} = 0,1\) hay \(10\% \).

c) Đúng

Gọi C là biến cố "Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu".

Theo đề bài ta có: \(P\left( C \right) = 0,2\)\( \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = 0,8\).

Trong số những người mặc áo thi đấu tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là 85% nên \(P\left( {A|C} \right) = 0,85\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {A\overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) = P\left( C \right).P\left( {A|C} \right) + P\left( {A\overline C } \right)\).

\( \Rightarrow 0,6 = 0,2.0,85 + P\left( {A\overline C } \right) \Rightarrow P\left( {A\overline C } \right) = 0,43\).

Ta có tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong những người không mặc áo thi đấu là:

\(P\left( {A|\overline C } \right) = \frac{{P\left( {A\overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,43}}{{0,8}} = 0,5375\) hay \(53,75\% \).

d) Đúng.

Ta có trong nhóm mặc áo thi đấu, xác suất xảy ra biến cố E là 10% nên

\(P\left( {E|C} \right) = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline E |C} \right) = 0,9\).

Xác suất người trả lời sai sự thật là:

\[P\left( E \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) + P\left( B \right).P\left( {\overline A |B} \right) = 0,4.0,15 + 0,6.0,1 = 0,12\].

Xác suất người trả lời đúng sự thật là: \(P\left( {\overline E } \right) = 1 - 0,12 = 0,88\).

Ta có \(P\left( {\overline E } \right) = P\left( {\overline E C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E } \right) = P\left( C \right).P\left( {\overline E |C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right)\)

\( \Rightarrow 0,88 = 0,2.0,9 + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E \overline C } \right) = 0,7\)

Khi đó, xác suất để một người trả lời đúng sự thật trong nhóm không mặc áo thi đấu là:

\(P\left( {\overline E |\overline C } \right) = \frac{{P\left( {\overline E \overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,7}}{{0,8}} = 0,875\) hay \(87,5\% \).