Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P(x) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C(x) = 100 + 15x\) (triệu đồng) (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(15\) triệu đồng chi phí cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi \(A\) bán cho \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Yêu cầu bài toán:

Tìm ra chu trình Hamilton có tổng trọng số ngắn nhất: \(A \to \ldots \to \ldots \to \ldots \to A\)

Cách 1: Láng giềng gần (không phải cách chặt chẽ)

·          Từ A có 3 sự lựa chọn:

o    \( \to C:15\)

o    \( \to D:30\)

o    \( \to B:42\)

\( \Rightarrow \) Chọn C vì 15 là nhỏ nhất.

·          Từ C có 2 sự lựa chọn (không về A nữa):

o    \( \to B:34\)

o    \( \to D:35\)

\( \Rightarrow \) Chọn B.

·          Từ B có 1 sự lựa chọn (không về A, C nữa):

o    \( \to D:20\)

·          Từ D về A: 30

Tổng chu trình:

15 + 34 + 20 + 30 = 99

Cách 2: Loại bỏ đường đi (không dùng được cho mọi bài)

Nhận xét: Chu trình Hamilton luôn đi qua mỗi đỉnh đúng 1 lần \( \to \) mỗi đỉnh sẽ có 1 đường vào, 1 đường ra.

Mà mỗi đỉnh trong 4 đỉnh lại có tận 3 đường (3 cạnh) nối với nó.

\( \Rightarrow \) Loại bỏ 2 cạnh không chung đỉnh có tổng trọng số lớn nhất:

·          Loại AB, CD: \(42 + 35 = 77\) (Lớn nhất \( \to \) Chọn bỏ)

·          Loại AC, BD: \(15 + 20 = 35\)

·          Loại AD, BC: \(30 + 34 = 64\)

\( \Rightarrow \) Chọn bỏ cạnh AB và CD.

Tổng trọng số:

= (Tất cả các cạnh) - (AB + CD)

\( = 176 - 77 = {\bf{99}}\).

Đáp án: 99.

Đáp án: \[0,16\].

Vì \[SM = 3MB,NC = 2NS\] nên \[\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} \],

Vì \[AN\] vuông góc với \[CM\] nên

 \[\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CM} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CB} + \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \frac{1}{{12}}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CS} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0\left( {do\;SA \bot CB} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2} - \frac{1}{{12}}.\frac{{C{A^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{2} - \frac{1}{4}.\frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.S{C^2} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{8} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.\left( {S{A^2} + A{C^2}} \right) - \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow SA = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array}\]

Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là \[V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\frac{{{1^2}.\sqrt 3 }}{4} \approx 0,16\].