Cho tam thức \(f\left( x \right) = m{x^2} + 2x + {m^2} + 2m + 1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để tam thức đã cho có hai nghiệm trái dấu.

Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\) có \(\Delta  = 1 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = 2\).

Tam thức bậc hai \(g(x) =  - {x^2} + 5x - 6\) có \(\Delta  = 1 > 0,a =  - 1 < 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = 3\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra \(f(x) \cdot g(x) \ge 0\) khi \(x \in [1;3]\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = [1;3]\).

Xét tam thức bậc hai \(f(x) =  - {x^2} + 2(m + 1)x - {m^2} + m\) có:

\(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} + m} \right) = 3m + 1\) và \(a =  - 1 < 0\).

Để \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta ' = 3m + 1 < 0\) suy ra \(m < \frac{{ - 1}}{3}\)