Cho \((P):y = a{x^2} + bx + c\), tìm phương trình \((P)\) biết \((P)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(x = 2\) và có đồ thị đi qua điểm \(A(0;6)\).

Theo yêu cầu bài toán ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{2^2} \cdot a + 2 \cdot b + c = 4\\{0^2} \cdot a + 0.b + c = 6\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}4a + 2b + c = 4\\c = 6\\4a + b = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b =  - 2\\c = 6\end{array}\end{array} \Rightarrow (P):y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 6.} \right.} \right.} \right.\]