Cho \((P):y = a{x^2} + bx + c\), tìm phương trình \((P)\) biết \((P)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(x = 2\) và có đồ thị đi qua điểm \(A(0;6)\).

Điều kiện xác định của hàm số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2m + 3 \ge 0}\\{x - m \ne 0}\\{ - x + m + 5 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2m - 3}\\{x \ne m}\\{x < m + 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 2m + 3} }}{{x - m}} + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \((0;1)\) khi và chỉ khi

\((0;1) \subset D \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2m - 3 \le 0\\m \ge  - 4\\m \ne (0;1)\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \le \frac{3}{2}\\m \ge  - 4\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array}\end{array}} \right.\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m \in [ - 4;0] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]} \right.} \right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và trục \(Ox\) là

\({x^2} - 2x + m - 1 = 0.{\rm{ (1) }}\)Để parabol cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt dương \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = 2 - m > 0}\\{S = 2 > 0}\\{p = m - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{m > 1}\end{array} \Leftrightarrow 1 < m < 2} \right.} \right.\).