Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), kẻ đường cao \(AH.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AK = AH.\) Kẻ \(KD \bot AC\,\,\left( {D \in BC} \right)\). Khẳng định đúng là

a) Đúng.

Vì điểm \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)

b) Sai.

Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta ECK\) có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

\(BH = CK\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (g.c.g)

c) Đúng.

Vì \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) nên \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng).

d) Đúng.

\(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) suy ra \(\widehat {HDB} = \widehat {KEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ODE},\,\,\widehat {OED}\) lần lượt là hai góc đối đỉnh với \(\widehat {HDB},\,\,\widehat {KEC}\).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OED}\).

Do đó, \(\Delta ODE\) cân tại \(O.\)

Đáp án: 30

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).

Vì \(D\) thuộc đường trung trực của \(AB\) nên \(AD = BD\) (tính chất đường trung trực)

Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại \(D\) (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra \(\widehat {DAC} + \widehat {CAB} = \widehat {DAB} = \widehat B = 70^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAC} = 70^\circ - \widehat {CAB} = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAC} = 30^\circ \).