Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D\) bất kì \(\left( {D \ne A,\,\,B} \right)\). Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(CD\) và \(BE.\)

Khi đó:

a) Đúng.

Vì điểm \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)

b) Sai.

Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta ECK\) có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

\(BH = CK\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (g.c.g)

c) Đúng.

Vì \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) nên \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng).

d) Đúng.

\(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) suy ra \(\widehat {HDB} = \widehat {KEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ODE},\,\,\widehat {OED}\) lần lượt là hai góc đối đỉnh với \(\widehat {HDB},\,\,\widehat {KEC}\).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OED}\).

Do đó, \(\Delta ODE\) cân tại \(O.\)

Đáp án: 30

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).

Vì \(D\) thuộc đường trung trực của \(AB\) nên \(AD = BD\) (tính chất đường trung trực)

Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại \(D\) (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra \(\widehat {DAC} + \widehat {CAB} = \widehat {DAB} = \widehat B = 70^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAC} = 70^\circ - \widehat {CAB} = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAC} = 30^\circ \).