Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {1\,;\,\,m} \right).\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để qua \(A\) có thể kẻ được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị \(\left( C \right)\). Số phần tử của \(S\) là:    

Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến \(d\) của đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \[A.\]

Khi đó, phương trình của \(d\) có dạng: \(y = kx + m - k.\)

\(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{kx + m - k = {x^3} + 3{x^2} + 1}\\{k = 3{x^2} + 6x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 2{x^3} + 6x + 1\,\,(*)}\\{k = 3{x^2} + 6x}\end{array}} \right.} \right.\) có nghiệm.

Đặt \(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 6x + 1\).

Để qua \(A\) có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới \(\left( C \right)\) thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt, điều đó tương đương với .

Ta có \[f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6\,;\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\]. Khi đó, .

Suy ra \( - 3 < m < 5\). Do đó, \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\). Vậy số phần tử của \(S\) là 7. Chọn B.