Một vật chuyển động tròn đều chịu tác động của lực hướng tâm, quỹ đạo chuyển động của vật trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) là đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 100\). Vật chuyển động đến điểm \(M(8;6)\) thì bị bay ra ngoài. Trong những giây đầu tiên sau khi vật bay ra ngoài, vật chuyển động trên đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\) có dạng: \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\). Do \((C)\) tiếp xúc \(Ox,Oy \Leftrightarrow R = |a| = |b|\).

\( + \) Trường hợp 1: Nếu \(a = b\)

\((C):{(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 - a)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 - \sqrt 2 }\\{a = 2 + \sqrt 2 }\end{array}} \right.\). Vậy có 2 đường tròn:

\(\left( {{C_1}} \right):{(x - 2 + \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 + \sqrt 2 )^2} = {(2 - \sqrt 2 )^2}\)

\(\left( {{C_2}} \right):{(x - 2 - \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 - \sqrt 2 )^2} = {(2 + \sqrt 2 )^2}\)

+ Trường hợp 2: Nếu \(a =  - b\)

(C): \({(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 + a)^2} = {a^2}\) (vô nghiệm)

Gọi tâm đường tròn là \(I(3t + 11;t) \in \Delta \). Ta có: \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {(3t + 11 - 2)^2} + {(t - 3)^2} = {(3t + 11 + 1)^2} + {(t - 1)^2} \Leftrightarrow 22t =  - 55 \Leftrightarrow t =  - \frac{5}{2}.\)

Suy ra \(I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\); bán kính đường tròn \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{65}}{2}} \).

Phương trình đường tròn \((C):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{65}}{2}\).