Cho bảng số liệu ghi lại điểm của \(40\) học sinh trong bài kiểm tra \(1\) tiết môn Toán

Điểm	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	Cộng
Số học sinh	\(2\)	\(3\)	\(7\)	\(18\)	\(3\)	\(2\)	\(4\)	\(1\)	40

Mốt của mẫu số liệu là:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới.

Ta cần tìm diện tích của \(S\left( x \right)\) thiết diện. Gọi \(d\left( {O,MN} \right) = x\).

Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\) Lúc đó \[MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)}  = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \]

\[ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }} \cdot \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}}  \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\].

Khi đó, \[S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi  - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\]

Thể tích khoảng không cần tìm là: \(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)dx \approx 115\,\,586\,\,\left( {{m^3}} \right).} \) Chọn B.

\(B \in {d_1} \Rightarrow B\left( {4 + t; - 4 - t;6 + 2t} \right)\). PT tham số của \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2s\\y = 11 + 4s\\z = 5 + 2s\end{array} \right.\).

\(C \in {d_2} \Rightarrow C\left( {5 + 2s;11 + 4s;5 + 2s} \right)\). Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {t - 1; - 1 - t;2t + 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2s;4s + 14;2s} \right)\).

Do \(A,B,C\) thẳng hàng nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB,} \,\,\overrightarrow {AC} \) cùng phương. Khi đó, \(\exists k \in \mathbb{R}:\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 1 = 2ks\\ - t - 1 = 4ks + 14k\\2t + 1 = 2ks\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}t =  - 2\\s =  - 3\end{array}\\{k = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\). Do đó: \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}.\) Chọn C.