Bạn Minh có một bảng hình vuông được chia thành 9 hình vuông đơn vị cố định không xoay như hình vẽ bên. Minh muốn dùng 3 màu (đỏ, xanh, đen) để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bạn Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng vuông đã cho?

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới.

Ta cần tìm diện tích của \(S\left( x \right)\) thiết diện. Gọi \(d\left( {O,MN} \right) = x\).

Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\) Lúc đó \[MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)}  = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \]

\[ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }} \cdot \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}}  \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\].

Khi đó, \[S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi  - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\]

Thể tích khoảng không cần tìm là: \(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)dx \approx 115\,\,586\,\,\left( {{m^3}} \right).} \) Chọn B.

\(B \in {d_1} \Rightarrow B\left( {4 + t; - 4 - t;6 + 2t} \right)\). PT tham số của \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2s\\y = 11 + 4s\\z = 5 + 2s\end{array} \right.\).

\(C \in {d_2} \Rightarrow C\left( {5 + 2s;11 + 4s;5 + 2s} \right)\). Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {t - 1; - 1 - t;2t + 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2s;4s + 14;2s} \right)\).

Do \(A,B,C\) thẳng hàng nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB,} \,\,\overrightarrow {AC} \) cùng phương. Khi đó, \(\exists k \in \mathbb{R}:\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 1 = 2ks\\ - t - 1 = 4ks + 14k\\2t + 1 = 2ks\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}t =  - 2\\s =  - 3\end{array}\\{k = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\). Do đó: \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}.\) Chọn C.