Cho $\tan \alpha = 2$. Biết $T = \sin \alpha {\sin }^3\alpha + \sqrt{3} {\cos }^3\alpha = \frac{a+b\sqrt{3}}{61}$, trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a-b (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:  ___

Đáp án đúng là "5"

Phương pháp giải

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\), trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {HG}  = 2\overrightarrow {GI} \).

Lời giải

Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Ta có \(\overrightarrow {HG}  = \left( { - \frac{4}{3};\frac{2}{3}} \right);\overrightarrow {GI}  = \left( {{x_I} - \frac{5}{3};{y_I} - \frac{8}{3}} \right)\).

Tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\), trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp I nên \(\overrightarrow {HG}  = 2\overrightarrow {GI} \).

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 4}}{3} = 2\left( {{x_I} - \frac{5}{3}} \right)}\\{\frac{2}{3} = 2\left( {{y_I} - \frac{8}{3}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = 1}\\{{y_I} = 3}\end{array} \Leftrightarrow I\left( {1;3} \right)} \right.} \right.\).

Đường thẳng \(BC\) có phương trình là \(x + 2y - 2 = 0\) nên \(x = 2 - 2y\) và \(\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \left( { - 2;1} \right)\).

Gọi \(M\left( {2 - 2{y_M};{y_M}} \right)\) là trung điểm \(BC\). Khi đó \(IM \bot BC\) và \(\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {MG} \).

Ta có \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1 - 2{y_M};{y_M} - 3} \right)\);

\(IM \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {IM}  \bot \overrightarrow {{u_{BC}}}  \Rightarrow  - 2.\left( {1 - 2{y_M}} \right) + 1.\left( {{y_M} - 3} \right) = 0 \Rightarrow {y_M} = 1 \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {GA}  = \left( {{x_A} - \frac{5}{3};{y_A} - \frac{8}{3}} \right);\overrightarrow {MG}  = \left( {\frac{5}{3};\frac{5}{3}} \right)\) mà \(\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {MG} \)

Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} - \frac{5}{3} = 2 \cdot \frac{5}{3}}\\{{y_A} - \frac{8}{3} = 2 \cdot \frac{5}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 5}\\{{y_A} = 6}\end{array} \Leftrightarrow A\left( {5;6} \right)} \right.} \right.\).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(IA = \sqrt {{{(5 - 1)}^2} + {{(6 - 3)}^2}}  = 5\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác \(ABC:B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}A\).

Lời giải

Đổi 20 phút \( = \frac{1}{3}\) giờ.

Quãng đường mỗi chiếc thuyền di chuyển được sau 20 phút lần lượt là \(15.\frac{1}{3} = 5\left( {{\rm{km}}} \right)\) và \(24.\frac{1}{3} = 8\left( {{\rm{\;km}}} \right)\).

Vậy khoảng cách giữa hai chiếc thuyền sau khi di chuyển được 20 phút là:

\(\sqrt {{5^2} + {8^2} - 2.8.5.{\rm{cos}}{{60}^0}} = 7\left( {{\rm{km}}} \right)\).