Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của đường hypebol \((H)\) có một tiêu điểm là \({F_2}(6;0)\) và đi qua điểm \({A_2}(4;0)\).

Gọi tâm đường tròn \(I(a;b)\). Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB}  = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\). Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }}  \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\left( 1 \right)\). Ta lại có \(\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ (1) và (2): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 3b =  - 5}\\{a - 3b =  - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{( - 2 + 2)}^2} + {{(6 - 1)}^2}}  = 5\).

Do đó phương trình đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 25\).

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}(0;2)\) bán kính \({R_1} = 3\).

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}(3; - 4)\) bán kính \({R_2} = 3\).

Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} \ne 0\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d\left( {{I_1},\Delta } \right) = 3}\\{d\left( {{I_2},\Delta } \right) = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|2b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} (*)}\\{|3a - 4b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }\end{array} \Rightarrow |2b + c| = |3a - 4b + c| \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2b}\\{c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Trường hợp 1: \(a = 2b\); chọn \(a = 2 \Rightarrow b = 1\); thay vào \(\left( * \right)\) ta được: \(c =  - 2 \pm 3\sqrt 5 \); suy ra phương trình hai tiếp tuyến là: \(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5  = 0\).

Trường hợp 2: \(c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}\); thay vào \((*)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left| {2b + \frac{{ - 3a + 2b}}{2}} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow |2b - a| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 4ab + {a^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow a(3a + 4b) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{3a =  - 4b}\end{array}.} \right.\end{array}\)

Với \(a = 0\); chọn \(b = 1 \Rightarrow c = 1\).

Phương trình \(\Delta :y + 1 = 0\).

Với \(3a =  - 4b\); chọn \(a = 4 \Rightarrow b =  - 3 \Rightarrow c =  - 9\).

Phương trình: \(\Delta :4x - 3y - 9 = 0\).

Vậy có bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình là:

\(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5  = 0;y + 1 = 0;4x - 3y - 9 = 0.{\rm{ }}\)