a) Tìm ƯCLN\(\left( {112,70} \right)\).

b) Ba bạn An, Bình, Cường cùng học một trường nhưng ở ba lớp khác nhau. An 12 ngày trực nhật một lần, Bình 15 ngày trực nhật một lần, Cường 20 ngày trực nhật một lần. Lần đầu, cả ba bạn trực nhật cùng vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ba bạn An, Bình, Cường lại cùng trực nhật chung vào một ngày?

a) Ta có: \(112 = {2^4}.7;\,\,\,\,\,70 = 2.5.7\).

Do đó ƯCLN\(\left( {112,70} \right) = 2.7 = 14\).

b) Gọi số ngày ít nhất mà ba bạn An, Bình, Cường lại cùng trực nhật chung vào một ngày là \(x\) (ngày) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

Do An 12 ngày trực nhật một lần, Bình 15 ngày trực nhật một lần, Cường 20 ngày trực nhật một lần nên \[x \vdots 12,x \vdots 15,x \vdots 20\]

Do đó \(x = BCNN\left( {12,15,20} \right)\)

Ta có: \(12 = {2^2}.3;\,\,\,\,\,15 = 3.5;\,\,\,\,\,20 = {2^2}.5\).

Suy ra \(x = BCNN\left( {12,15,20} \right) = {2^2}.3.5 = 60\) (thỏa mãn).

Vậy sau ít nhất 60 ngày thì ba bạn An, Bình, Cường lại cùng trực nhật chung vào một ngày.