Trong hộp bút của Lan có 4 chiếc bút chì, 5 chiếc bút bi và 2 chiếc bút máy (tất cả đều khác nhau), khi đó:

Gọi \(X = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) là số có 7 chữ số khác nhau và X chia hết cho 5. Ta có hai khả năng sau:

\( * \)\({a_7} = 0\): Có \(A_9^6\) cách chọn và sắp xếp 6 chữ số còn lại.

\( * \)\({a_7} = 5\): Có 8 cách chọn \({a_1}\); có \(A_8^5\) cách chọn và sắp xếp 5 chữ số còn lại.

Vậy ta có thể lập được tất cả là \(A_9^6 + 8A_8^5 = 114240.\)

\(\begin{array}{l}f(x) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\\ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}} \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}} \cdot {3^i}{x^{k + i}}{\rm{ ,}}0 \le i \le k \le 10.\end{array}\)

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}:{2^4}C_{10}^4 \cdot C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3 \cdot C_3^1 + {3^2}C_{10}^2 \cdot C_2^2 = 8085\).