Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {\left( {3{x^2} + 2x + 1} \right)^{10}}\).

Kí hiệu số cần lập là abcd. Việc chọn các chữ số a, b, c, d qua 4 bước sau:

Chọn a khác 0 có 5 cách.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 6 cách chọn chữ số b từ sáu chữ số đã cho.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 6 cách chọn chữ số c từ sáu chữ số đã cho.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 6 cách chọn chữ số d từ sáu chữ số đã cho.

Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, có: 5.6.6.6=1080 số tự nhiên có bốn chữ số được lập từ các chữ số đã cho.

Gọi \(X = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) là số có 7 chữ số khác nhau và X chia hết cho 5. Ta có hai khả năng sau:

\( * \)\({a_7} = 0\): Có \(A_9^6\) cách chọn và sắp xếp 6 chữ số còn lại.

\( * \)\({a_7} = 5\): Có 8 cách chọn \({a_1}\); có \(A_8^5\) cách chọn và sắp xếp 5 chữ số còn lại.

Vậy ta có thể lập được tất cả là \(A_9^6 + 8A_8^5 = 114240.\)