Từ các chữ số \(1\), \(2\),\(3\),\(4\),\(5\), \(6\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số \(1\), các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau?

a) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \) với \(a,b,c,d,e\) là các số lấy từ tập \(\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \).

Vì các số được chọn là tùy ý nên số cách chọn mỗi chữ số \(a,b,c,d,e\) đều là 10 (cách).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \({9.10^4} = 90000\) (số).

b) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).

Chọn \(a:a \ne 0 \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(a\).

Chọn \(b:b \ne a \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(b\).

Theo quy luật trên thì số cách chọn \(c,d,e\) lần lượt là \(8,7,6\). Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: 9.9.8.7.6 \( = 27216\) (số).

c) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).

Chọn \(e \in \{ 1;3;5;7;9\}  \Rightarrow \) Có 5 cách chọn \(e\).

Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e \Rightarrow \) Có 8 cách chọn \(a\).

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(5.8.8.7.6 = 13440\) (số)

d) Cách giải 1:

Trường hợp 1: \(e = 0\).

Chọn \(a\) khác 0 (tức là \(a\) cũng khác \(e\) ): có 9 cách chọn.

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó, ta có được: 1.9.8.7.6 \( = 3024\) (số).

Trường hợp 2: \(e \in \{ 2;4;6;8\} \). Chọn \(e\): có 4 cách chọn.

Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e\), ta có 8 cách chọn.

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó ta có được: \(4.8.8.7.6 = 10752\) (số).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(3024 + 10752 = 13776\) (số).

Cách giải 2:

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt là 27216 (số).

Số các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số phân biệt là 13440 (số).

Theo quy tắc loại trừ, ta có số các số tự nhiên chã̃n gồm 5 chữ số phân biệt: \(27216 - 13440 = 13776\) (số).

Ta xếp 5 nam sinh trước tiên, số cách xếp là 5!.

Giữa các nam sinh và hai đầu, cuối hàng sẽ có 6 vị trí (đánh số từ 1 đến 6) để có thể sắp xếp 5 nữ sinh vào sao cho nam, nữ xen kẻ.

Trường hợp 1: 5 nữ sinh xếp vào vị trí từ số 1 đến số 5, số cách xếp là \(5!\).

Trường hợp \(2:5\) nữ sinh xếp vào vị trí từ số 2 đến số 6, số cách xếp là 5!.

Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là \(5!(5! + 5!) = 28800\).