Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,95 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; có xác suất lây bệnh là 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Anh Thành tiếp xúc với một bệnh nhân hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Thành bị lây bệnh truyền nhiễm từ người bệnh mà anh tiếp xúc. (nhập đáp án vào ô trống, kết quả viết dưới dạng phân số tối giản)

Đáp án:  ______

 

Đáp án đúng là "28/3"

Phương pháp giải

Để tính thể tích bê tông làm tường cong theo đề bài, ta cần tính diện tích tam giác cong \(ACE\) rồi nhân với \(AB\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) (\(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right])\) là: .

Lời giải

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O \equiv C,Oy \equiv CE\), tia \(Ox\) là tia đối của tia \(CA\) như hình vẽ.

Gọi \(N\) là giao điểm của đường cong \(AE\) và đường thẳng qua \(M\), song song với \(CE\).

Do cạnh cong \(AE\) nằm trên một đường Parabol nên phương trình cạnh cong \(AE\) có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\). Cạnh \(AE\) đi qua các điểm \(A\left( { - 4;0} \right);E\left( {0;3} \right);N\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16a - 4b + c = 0}\\{c = 3}\\{4a - 2b + c = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{8}}\\{b = \frac{5}{4}}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Do đó cạnh cong \(AE\) có phương trình \(y = \frac{1}{8}{x^2} + \frac{5}{4}x + 3\).

Ta có \({S_{ACE}} = \int\limits_{ - 4}^0 {\left( {\frac{1}{8}{x^2} + \frac{5}{4}x + 3} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{{24}}{x^3} + \frac{5}{8}{x^2} + 3x} \right)} \right|_{ - 4}^0 = \frac{{14}}{3}\).

Thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đã cho là:

\(V = {S_{ACE}}.h = \frac{{14}}{3}.2 = \frac{{28}}{3}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sự tương giao đồ thị.

Lời giải

Ta có

\(f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3}f\left( x \right) = 0}\\{{x^3}f\left( x \right) = a > 0}\\{{x^3}f\left( x \right) = b > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f\left( x \right) = 0\,\,\,\,(1)}\\{f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^3}}}\left( {x \ne 0} \right)\,\,\,\,\,(2)}\\{f\left( x \right) = \frac{b}{{{x^3}}}\left( {x \ne 0} \right)\,\,\,\,\,(3)}\end{array}} \right.\)

Giải (1): \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = c > 0\)

Giải (2): \(f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^3}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) - \frac{a}{{{x^3}}} = 0\), với \(x \ne 0,a > 0\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{a}{{{x^3}}}\)

\(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \frac{{3a}}{{{x^4}}}\).

Trường hợp 1: \(x > c\).

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta có \(f'\left( x \right) > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \frac{{3a}}{{{x^4}}} > 0\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {c; + \infty } \right)\).

Mà và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {c; + \infty } \right)\)

Do đó, \(g\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất trên \(\left( {c; + \infty } \right)\).

Trường hợp 2: \(0 < x < c\) thì \(f\left( x \right) < 0 < \frac{a}{{{x^3}}}\) nên \(g\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 3: \(x < 0\).

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta có \(f'\left( x \right) > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \frac{{3a}}{{{x^4}}} > 0\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Mà và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Do đó, \(g\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Tóm lại, (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và khác \(c\).

Giải (3) hoàn toàn tương tự đối với (2), ta được (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, khác c và khác 2 nghiệm phân biệt của (2).

Vậy phương trình \(f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) + 1 = 0\) có đúng 6 nghiệm thực.