Trong bài kiểm tra môn Khoa học tự nhiên, thầy giáo lớp bạn Sơn đã chuẩn bị sẵn hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 20 phiếu thi môn Vật lý, hộp thứ hai có 15 phiếu thi môn Hóa học. Bạn Sơn biết làm tổng cộng 30 câu ghi trên các phiếu thi, trong đó có 18 câu Vật lý. Khi Sơn bắt đầu kiểm tra, thầy giáo rút ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất ra 2 phiếu và từ hộp thứ hai ra 1 phiếu.

Giả sử bài kiểm tra của Sơn gồm cả 3 câu hỏi ghi trên các phiếu mà thầy giáo đã rút ra. Xác suất để Sơn không biết làm cả 3 câu là

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng công thức xác suất toàn phần \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right)\).

Lời giải

Gọi \(A\) biến cố "Sơn chọn được phiếu có ghi Câu môn Vật lý", \(B\) là biến cố "Sơn biết làm Câu ghi trên phiếu đã chọn".

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{2}{3} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

Ta có \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{18}}{{20}} = \frac{9}{{10}};P\left( {B\mid \overline A } \right) = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\).

Xác suất để Sơn biết làm Câu ghi trên phiếu mà bạn ấy đã chọn là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{2}{3}.\frac{9}{{10}} + \frac{1}{3}.\frac{4}{5} = \frac{{13}}{{15}}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng công thức xác suất toàn phần: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right)\).

Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải

Gọi \(A\) biến cố "Sơn chọn được cả 2 phiếu đều có ghi Câu môn Vật lý", \(B\) là biến cố "Sơn biết làm cả 2 Câu hỏi ghi trên các phiếu đã chọn".

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_{18}^2}}{{C_{20}^2}} = \frac{{153}}{{190}};\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{18}}{{20}}.\frac{{12}}{{15}} = \frac{{18}}{{25}}\).

Xác suất để Sơn biết làm cả 2 Câu hỏi ghi trên các phiếu mà bạn ấy đã chọn là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{3}.\frac{{153}}{{190}} + \frac{2}{3}.\frac{{18}}{{25}} = \frac{{711}}{{950}}\).

Xác suất để cả 2 phiếu Sơn chọn đều ghi Câu hỏi môn Vật lý, với điều kiện Sơn biết làm cả 2

Câu hỏi đó là:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{153}}{{190}}}}{{\frac{{711}}{{950}}}} = \frac{{85}}{{237}}\).