Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right)\). Xét tam giác đều \(ABI\) có hai đỉnh \(A,B\) thuộc \(\left( C \right)\). Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng \(a\sqrt b \)(\(a,b \in \mathbb{N}\)). Tính \(a + b\) (nhập đáp án vào ô trống).

__

Ta có \(x =  - 2;y = 1\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra \(I\left( { - 2;1} \right)\).

Xét \(A\left( {a - 2;1 - \frac{3}{a}} \right) \in \left( C \right),B\left( {b - 2;1 - \frac{3}{b}} \right) \in \left( C \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {a; - \frac{3}{a}} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( {b; - \frac{3}{b}} \right)\) và \(IA = \sqrt {{a^2} + \frac{9}{{{a^2}}}} \); \(IB = \sqrt {{b^2} + \frac{9}{{{b^2}}}} \).

Tam giác \(ABI\) đều khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right) = \cos 60^\circ \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + \frac{9}{{{a^2}}} = {b^2} + \frac{9}{{{b^2}}}\;\;\left( 1 \right)\\\frac{{ab + \frac{9}{{ab}}}}{{{a^2} + \frac{9}{{{a^2}}}}} = \frac{1}{2}\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Từ (2) suy ra \(ab > 0\) và \({a^2} \ne {b^2}\) do \(A \ne B\).

Từ (1), ta suy ra \(\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {1 - \frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = 0 \Rightarrow ab = 3\).

Với \(ab = 3\) thay vào (2), ta tìm được \({a^2} + \frac{9}{{{a^2}}} = 12\).

Vậy \(AB = IA = \sqrt {{a^2} + \frac{9}{{{a^2}}}}  = 2\sqrt 3 \). Suy ra \(a = 2;b = 3\). Vậy \(a + b = 5\).

Đáp án cần nhập là: \(5\).