Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right),C\left( {3; - 1; - 2} \right).\]Giả sử \[M\left( {a;b;c} \right)\] thuộc mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 861\] sao cho \[P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}\]đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị \[\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|\]bằng

\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 861\] có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}0; - 1} \right)\)

Gọi \(G\left( {x;\,y;\,z} \right)\)là điểm thỏa \(2\overrightarrow {GA}  - 7\overrightarrow {GB}  + 4\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \), khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 - x} \right) - 7\left( { - 1 - x} \right) + 4\left( {3 - x} \right) = 0\\2\left( {1 - y} \right) - 7\left( {2 - y} \right) + 4\left( { - 1 - y} \right) = 0\\2\left( { - 1 - z} \right) - 7\left( {0 - z} \right) + 4\left( { - 2 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 21\\y = 16\\z = 10\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( { - 21;{\rm{16}};10} \right)\).

Ta có \(P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}\)

\( = 2M{G^2} + 4\overrightarrow {MG}  \cdot \overrightarrow {GA}  + 2G{A^2} - 7M{G^2} - 14\overrightarrow {MG}  \cdot \overrightarrow {GB}  - 7G{B^2} + 4M{G^2} + 8\overrightarrow {MG}  \cdot \overrightarrow {GC}  + 4G{C^2}\)

\( =  - M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {2\overrightarrow {GA}  - 7\overrightarrow {GB}  + 4\overrightarrow {GC} } \right)\)

\( =  - M{G^2}\)

\(P\)đạt giá trị nhỏ nhất khi \(MG\)lớn nhất. Mà \(G\) thuộc mặt cầu nên \(MG\)lớn nhất khi \(M\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(I\). Suy ra \(M\left( {23;\, - 16;\, - 12} \right)\).

Vậy \(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| = 51\). Chọn D.