Đường thẳng \(\Delta \) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:2x + y - 3 = 0\) và \({d_2}:x - 2y + 1 = 0\) đồng thời tạo với \({d_3}:y - 1 = 0\) một góc \(45^\circ \).    

Tọa độ giao điểm của \({d_1}:2x + y - 3 = 0\) và \({d_2}:x - 2y + 1 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x - 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = A\left( {1;1} \right) \in \Delta \].

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;\,1} \right)\) nên \[a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a - b = 0\] với \[{a^2} + {b^2} \ne 0\].

Gọi \[\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {0;1} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {a;b} \right)\] lần lượt là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_3}:y - 1 = 0\) và đường thẳng \(\Delta \).

Vì góc giữa \[{d_3}\] và \(\Delta \) bằng \(45^\circ \) nên ta có:

\[\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {0 + 1} }} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{b^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow \Delta :\,x + y - 2 = 0\\a =  - b \Rightarrow a = 1,b =  - 1 \Rightarrow \Delta :\,x - y = 0\end{array} \right.\]. Chọn A