Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} + m\) có nghiệm khi và chỉ khi

 Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \sqrt {1 + x}  - \sqrt {1 - x}  + m\) có nghiệm \(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) - \left( {\sqrt {1 + x}  - \sqrt {1 - x} } \right) \ge m\) có nghiệm \(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {\sqrt {1 + x}  - \sqrt {1 - x} } \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)

Ta có : \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \left( {\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}} \right)\)

Có \(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0\) và \(\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)\)

 mà \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \le 1\) nên hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Ta suy ra : \(m \le g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) + \sqrt 2 \). Chọn C.