Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như sau:

Với \(m,n\) là các số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 25;25} \right]\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {m,n} \right)\) để phương trình \(f\left( {\left| {x + 3} \right|} \right) = 5\) có đúng 4 nghiệm phân biệt (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Ta đặt \(t = \left| {x + 3} \right| \ge 0\)

Khi đó phương trình \(f\left( {\left| {x + 3} \right|} \right) = 5\) trở thành \(f\left( t \right) = 5,t \ge 0\)

Suy ta phương trình \(f\left( {\left| {x + 3} \right|} \right) = 5\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(f\left( t \right) = 5,t \ge 0\) có hai nghiệm dương phân biệt.

Giả sử \(f\left( 0 \right) = q \Rightarrow q < m\),

Trường hợp 1: \(q < n\)

\(m = 5 \Rightarrow n < 5 \Rightarrow n \in \left[ { - 25;5} \right)\) suy ra có 30 cặp số nguyên.

\(n = 5 \Rightarrow m > 5 \Rightarrow m \in \left( {5;25} \right]\) suy ra có 20 cặp số nguyên.

Trường hợp 2: \(n \le q < m\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 2 \right) = 0}\\{f'\left( 5 \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12a + 4b + c = 0}\\{75a + 10b + c = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 30a}\\{b =  - 10,5a}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 2 \right) = m}\\{f\left( 5 \right) = n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8a + 4b + 2c + d = m}\\{125a + 25b + 5c + d = n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{26a + d = m}\\{12,5a + d = n}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{26a = m - d > 0}\\{12,5a = n - d \le 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{a \le 0}\end{array}} \right.\) (vô lý).

Vậy có 50 cặp số nguyên \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần nhập là: \(50\).