Trọng tâm của một tam giác là

Do số \(a\) nhỏ hơn số \(c\) một đơn vị nên ta có \(a = c - 1\,\,\,\left( 1 \right)\).

Theo đề, ta có \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), suy ra \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\).

Khi đó \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0\), do đó \(b = - \frac{1}{2}a - 2c\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(b = - \frac{1}{2}\left( {c - 1} \right) - 2c = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\,\,\,\left( 3 \right)\)

Do \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\) nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 3\).

Ta có \(P\left( 3 \right) = \left( {3 - 3} \right).Q\left( x \right) = 0\), hay \(P\left( 3 \right) = 0\).

Khi đó \(9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Thế \(a = c - 1\) và \(b = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\) vào \(\left( * \right)\), ta được:

\[9\left( {c - 1} \right) + 3\left( { - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}} \right) + c = 0\].

Suy ra \(\frac{5}{2}c = \frac{{15}}{2}\), do đó \(c = 3\).

Với \(c = 3\), ta có \(a = 3 - 1 = 2\) và \(b = - \frac{5}{2}.3 + \frac{1}{2} = - 7\).

Vậy \(a = 2\); \(b = - 7\) và \(c = 3\).

a) Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta OBF\), có:

\(\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ \);

\(OA = OB\) (giả thiết);

\(\widehat {AOB}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta OAE = \Delta OBF\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(OE = OF\) (cặp cạnh tương ứng).

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta EIF\), ta được: \(EF < EI + IF\).

Mà \(2EM = EF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\)).

Suy ra \(2EM < EI + IF\).

Vậy \(EM < \frac{{EI + IF}}{2}\).

c) Xét \(\Delta OEF\) có hai đường cao \(FB\) và \(AE\) cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của \(\Delta OEF\).

Do đó \(OI \bot EF\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OEM\) và \(\Delta OFM\), có:

\(OM\) là cạnh chung;

\(ME = MF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\));

\(OE = OF\) (câu a).

Do đó \(\Delta OEM = \Delta OFM\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {OME} = \widehat {OMF}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Khi đó \(\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ \) hay \(OM \bot EF\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\), suy ra ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.