(2,5 điểm) Cho \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) (\(A \ne O\)). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA = OB\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OA\), cắt \(Oy\) tại \(E\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OB\), cắt \(Ox\) tại \(F\).

(a) Chứng minh \(\Delta OAE = \Delta OBF\), từ đó suy ra \(OE = OF\).

(b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF\). So sánh \(EM\) và \(\frac{{EI + IF}}{2}\).

(c) Chứng minh ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

Gọi \[a\], \(b\), \(c\) (quyển vở) lần lượt là số quyển vở lớp \(7A\), \(7B\), \(7C\) quyên góp được.

Theo đề, ta có tổng số quyển vở lớp \(7A\) và \(7B\) quyên góp được nhiều hơn lớp \(7C\) là 62 quyển, suy ra \(a + b - c = 62\).

Do số quyển vở mỗi lớp quyên góp được tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp đó nên:

\(\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}} = \frac{{a + b - c}}{{32 + 35 - 36}} = \frac{{62}}{{31}} = 2\).

Suy ra \(a = 32.2 = 64\); \(b = 35.2 = 70\); \(c = 36.2 = 72\).

Vậy số quyển vở lớp \(7A\), \(7B\), \(7C\) quyên góp được lần lượt là 64 quyển vở; 70 quyển vở và 72 quyển vở.

Do số \(a\) nhỏ hơn số \(c\) một đơn vị nên ta có \(a = c - 1\,\,\,\left( 1 \right)\).

Theo đề, ta có \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), suy ra \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\).

Khi đó \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0\), do đó \(b = - \frac{1}{2}a - 2c\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(b = - \frac{1}{2}\left( {c - 1} \right) - 2c = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\,\,\,\left( 3 \right)\)

Do \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\) nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 3\).

Ta có \(P\left( 3 \right) = \left( {3 - 3} \right).Q\left( x \right) = 0\), hay \(P\left( 3 \right) = 0\).

Khi đó \(9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Thế \(a = c - 1\) và \(b = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\) vào \(\left( * \right)\), ta được:

\[9\left( {c - 1} \right) + 3\left( { - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}} \right) + c = 0\].

Suy ra \(\frac{5}{2}c = \frac{{15}}{2}\), do đó \(c = 3\).

Với \(c = 3\), ta có \(a = 3 - 1 = 2\) và \(b = - \frac{5}{2}.3 + \frac{1}{2} = - 7\).

Vậy \(a = 2\); \(b = - 7\) và \(c = 3\).