(1,0 điểm) Hưởng ứng chương trình giúp đỡ các bạn học sinh vùng núi, ba lớp \(7A\), \(7B\), \(7C\) đã quyên góp được một số lượng quyển vở tỉ lệ với số học sinh của mỗi lớp. Biết rằng lớp \(7A\) có 32 học sinh, lớp \(7B\) có 35 học sinh, lớp \(7C\) có 36 học sinh và tổng số quyển vở lớp \(7A\) và \(7B\) quyên góp được nhiều hơn lớp \(7C\) là 62 quyển. Tính số quyển vở mỗi lớp quyên góp được.

Do số \(a\) nhỏ hơn số \(c\) một đơn vị nên ta có \(a = c - 1\,\,\,\left( 1 \right)\).

Theo đề, ta có \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), suy ra \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\).

Khi đó \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0\), do đó \(b = - \frac{1}{2}a - 2c\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(b = - \frac{1}{2}\left( {c - 1} \right) - 2c = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\,\,\,\left( 3 \right)\)

Do \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\) nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 3\).

Ta có \(P\left( 3 \right) = \left( {3 - 3} \right).Q\left( x \right) = 0\), hay \(P\left( 3 \right) = 0\).

Khi đó \(9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Thế \(a = c - 1\) và \(b = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\) vào \(\left( * \right)\), ta được:

\[9\left( {c - 1} \right) + 3\left( { - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}} \right) + c = 0\].

Suy ra \(\frac{5}{2}c = \frac{{15}}{2}\), do đó \(c = 3\).

Với \(c = 3\), ta có \(a = 3 - 1 = 2\) và \(b = - \frac{5}{2}.3 + \frac{1}{2} = - 7\).

Vậy \(a = 2\); \(b = - 7\) và \(c = 3\).

a) Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta OBF\), có:

\(\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ \);

\(OA = OB\) (giả thiết);

\(\widehat {AOB}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta OAE = \Delta OBF\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(OE = OF\) (cặp cạnh tương ứng).

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta EIF\), ta được: \(EF < EI + IF\).

Mà \(2EM = EF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\)).

Suy ra \(2EM < EI + IF\).

Vậy \(EM < \frac{{EI + IF}}{2}\).

c) Xét \(\Delta OEF\) có hai đường cao \(FB\) và \(AE\) cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của \(\Delta OEF\).

Do đó \(OI \bot EF\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OEM\) và \(\Delta OFM\), có:

\(OM\) là cạnh chung;

\(ME = MF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\));

\(OE = OF\) (câu a).

Do đó \(\Delta OEM = \Delta OFM\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {OME} = \widehat {OMF}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Khi đó \(\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ \) hay \(OM \bot EF\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\), suy ra ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.