(1,0 điểm) Ba đội công nhân cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là \(2\) giờ, \(3\) giờ, \(4\) giờ. Tính số công nhân tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số công nhân của đội thứ ba ít hơn số công nhân của đội thứ hai là \(5\) người và năng suất lao động của các công nhân là như nhau.

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \);

\(BD\) là cạnh chung;

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat B\)).

Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(BA = BE\) (hai cạnh tương ứng).

b) Xét \(\Delta BEM\) và \(\Delta BAC\), có:

\(\widehat {BEM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(BA = BE\) (chứng minh câu a);

\(\widehat {ABE}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta BEM = \Delta BAC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BCA}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ADM}\) phụ với \[\widehat {BME}\]; \(\widehat {ABC}\) phụ với \(\widehat {BCA}\).

Do đó \(\widehat {ADM} = \widehat {ABC}\).

Lại có \(\widehat {BCA} < \widehat {ABC}\) (do \(AB < AC\)).

Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BCA} < \widehat {ABC}\) hay \(\widehat {AMD} < \widehat {ADM}\).

Khi đó \(AD < AM\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).

Mà \(AM < DM\) (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc).

Vậy trong \(\Delta ADM\), \(AD < AM < DM\).

c) \(\Delta MBC\) có \(CA\) và \(ME\) là hai đường cao cắt nhau tại \(D\).

Suy ra \(D\) là trực tâm của \(\Delta MBC\).

Do đó \(BD\) là đường cao thứ ba của \(\Delta MBC\) hay \(BD \bot MC\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do \(\Delta BEM = \Delta BAC\) (câu b) nên \(BM = BC\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra \(B\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(MC\).

Lại có \(K\) là trung điểm của \(MC\) nên \(K\) cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(MC\).

Khi đó \(BK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MC\) nên \(BK \bot MC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng.

a) Biến cố \(A\) là biến cố không thể, vì không có bao lì xì có tờ tiền nào mệnh giá \(1\,\,000\,\,000\) đồng.

Biến cố \(B\) là biến cố chắc chắn, vì tất cả các bao lì xì đều có tờ tiền mệnh giá không lớn hơn \(500\,\,000\) đồng.

b) Biến cố ngẫu nhiên có trong các biến cố đã cho là \(C,D\).

Trong 5 bao lì xì, có 1 bao lì xì có tờ tiền mệnh giá \(200\,\,000\) đồng” nên xác suất của biến cố \(C\) là \(\frac{1}{5}\).

Trong 5 bao lì xì, có 2 bao lì xì có tờ tiền mệnh giá nhiều hơn \(100\,\,000\) đồng là \(200\,\,000\) đồng và \(500\,\,000\) đồng. Vậy xác suất của biến cố \(D\) là \(\frac{2}{5}\).