Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\). Tìm \(F\left( x \right)\). 

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} dx = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Một nguyên hàm \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 2025\).

b) Có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Ta có \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 1\).

Vậy \(F\left( e \right) = \frac{{{e^2}}}{2} + 2\).

c) Theo định nghĩa nguyên hàm \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

d) Ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Đồ thị của hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua \(M\left( {e;\frac{{{e^2}}}{2}} \right)\) nên ta có phương trình \(\frac{{{e^2}}}{2} = \frac{{{e^2}}}{2} + \ln e + C \Leftrightarrow C = - 1\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x - 1\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + \ln 1 - 1 = - \frac{1}{2}\).

Trả lời: 6,3

\[I = - 3\int\limits_2^0 {{t^2}f(t){\rm{d}}t} = 3\int\limits_0^2 {{x^2}f(x){\rm{d}}} x = 3\left[ {\int\limits_0^1 {{x^2}\left( {x + 1} \right){\rm{d}}} x + \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}} x} \right] = \frac{{25}}{4} \approx 6,3\].