Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{4xy}}{{{x^2} - {y^2}}}\,\,\left( {x \ne \pm y} \right)\) tại \(x = - 1\) và \(y = 2\) là

a) Do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(CA \bot BD\).

Mà \(AD = AB\) nên \(A\) là trung điểm của \(BD\)

Ta có \(CA \bot BD\) tại trung điểm \[A\] của \(BD\) nên \(CA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BD\).

Suy ra \[CB = CD\] nên \[\Delta BCD\] là tam giác cân tại \(C\).

b) Do \(BC\,{\rm{//}}\,DE\) nên \[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\](so le trong).

Xét \[\Delta BMC\]và \[\Delta EMD\] có:

\[\widehat {BMC} = \widehat {EMD}\] (đối đỉnh);

\[MD = MC\](giả thiết);

\[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta BMC = \Delta EMD\,\,\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)\]

Suy ra \[BC = ED\] (hai cạnh tương ứng).

Ta có \[BC + BD = BD + DE > BE\] (bất đẳng thức trong tam giác \(BDE\)).

d) Xét \(\Delta BDE\) có \[A\]là trung điểm \[BD\]; \[M\] là trung điểm \[BE\]

Suy ra \(G\) là trọng tâm \(\Delta BDE\)

Suy ra \[DM = 3GM\].

Do đó \[DC = 2DM = 6GM\].

a) \(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\)

\( = - {x^4} + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + 2{x^2} - x - 3\)

\( = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3\)

\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\)

\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 2x + 12\)

\( = {x^3} + 3{x^2} - 2x + 12\)

b) Đa thức \(B\left( x \right)\) có bậc là 3 và hệ số tự do là 12.

c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \[M\left( x \right) = \left( { - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2x + 12} \right)\]

\[M\left( x \right) = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3 - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 12\]

\[ = - {x^4} + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - x + 2x} \right) + \left( { - 3 - 12} \right)\]

\( = - {x^4} - {x^2} + x - 15\)

Ta có \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \(N\left( x \right) = M\left( x \right) + \left( {{x^4} + 15} \right)\)

Do đó \(N\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + x - 15 + {x^4} + 15\)

\( = - {x^2} + x\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\), ta cho \(N\left( x \right) = 0\)

Tức là \( - {x^2} + x = 0\)

\( - x\left( {x - 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).