Cho \[A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2022}} + {2^{2023}}\].  Tìm số dư khi chia \[A\] cho 5.

Biểu thức \[A\] có 2023 số hạng, nhóm 4 số  hạng ta được số nhóm là:

\[2023:4 = 505\] (dư 3 số hạng)

Ta có \[A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2022}} + {2^{2023}}\]

\[\; = \;2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \; \ldots  + {2^{2000}}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\]

\[ = 14 + 15 \cdot \left( {{2^4} + {2^8} + ... + {2^{2000}}} \right)\].

Vì \[15\,\, \vdots \,\,15\] nên \[15 \cdot \left( {{2^4} + {2^8} + ... + {2^{2000}}} \right)\,\, \vdots \,\,15\].

Do đó \[A\] chia 5 dư 4.