Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\). Gọi \(K\) là trung điểm \(BC\).

(a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

(b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \(EF\).

(c) Đường phân giác góc \(FHB\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), \(J\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh tứ giác \(AFHI\) nội tiếp và ba điểm \(I,J,K\) thẳng hàng.

a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

Vì \(BE\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(BE \bot AC\).

Suy ra \(\widehat {BEC} = 90^\circ \).

Do đó \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\).

Vì vậy ba điểm \(B,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) (1)

Vì \(CF\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(CF \bot AB\).

Suy ra \(\widehat {BFC} = 90^\circ \).

Do đó \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\).

Vì vậy ba điểm \(B,F,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) (2)

Từ (1), (2), ta suy ra bốn điểm \(B,F,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \(EF\).

Vì tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {FEC} = {180^0}\).

Mà \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).

Kẻ đường kính \(AP\) của đường tròn \(\left( O \right)\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), có: \(\widehat {CBP} = \widehat {CAP} = \frac{1}{2}\)sđ (hai góc nội tiếp chắn ).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), có: \(\widehat {ABP} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {CBP} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {AEF} + \widehat {CAP} = 90^\circ \).

Gọi \(G\) là giao điểm của \(EF\) và \(AP\).

Xét tam giác \(AGE\), có: \(\widehat {AGE} + \widehat {CAP} + \widehat {AEF} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {AGE} + 90^\circ = 180^\circ \).

Do đó \(\widehat {AGE} = 90^\circ \).

Vì vậy \(OA \bot EF\) tại \(G\).

Vậy đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \(EF\).

c) Đường phân giác góc \(FHB\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), \(J\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh tứ giác \(AFHI\) nội tiếp và ba điểm \(I,J,K\) thẳng hàng.

⦁ Chứng minh tứ giác \(AFHI\) nội tiếp.

Ta có: \(\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\) (hai góc đối đỉnh).

Mà \(MN\) là đường phân giác góc \(FHB\).

Suy ra \(\widehat {MHF} = \widehat {NHE}\,\,\left( { = \frac{{\widehat {FHB}}}{2} = \frac{{\widehat {EHC}}}{2}} \right)\) (1)

Vì tam giác \(MHF\) vuông tại \(F\) nên \(\widehat {MHF} + \widehat {AMH} = 90^\circ \) (2)

Vì tam giác \(NHE\) vuông tại \(E\) nên \(\widehat {NHE} + \widehat {ANH} = 90^\circ \) (3)

Từ (1), (2), (3), ta suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {ANH}\).

Do đó \(\Delta AMN\) cân tại \(A\).

Mà \(AI\) là đường trung tuyến của \(\Delta AMN\) (vì \(I\) là trung điểm của \(MN\)).

Suy ra \(AI\) cũng là đường cao của \(\Delta AMN\).

Do đó \(AI \bot MN\).

Vì vậy \(\widehat {AIH} = 90^\circ \).

Suy ra \(\Delta AIH\) vuông tại \(I\).

Khi đó ba điểm \(A,H,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\) (4)

Vì \(CF\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(CF \bot AB\) hay \[\widehat {AFH} = 90^\circ \].

Do đó \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\).

Vì vậy ba điểm \(A,F,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\) (5)

Từ (4), (5), ta thu được bốn điểm \(A,F,H,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\) hay tứ giác \(AFHI\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

⦁ Chứng minh ba điểm \(I,J,K\) thẳng hàng.

Vì \(CF \bot AB\) (chứng minh trên) và \(PB \bot AB\) (\(\widehat {ABP} = 90^\circ \)) nên \(CF\parallel PB\).

Vì \(BE\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(BE \bot AC\) hay \[\widehat {AEH} = 90^\circ \].

Suy ra \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\).

Do đó ba điểm \(A,E,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).

Vì vậy điểm \(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(AH\).

Ta có:

– Xét đường tròn \(\left( O \right)\), có: \(\widehat {CAP} = \widehat {CBP}\) (hai góc nội tiếp chắn ).

– Ta có: \[\widehat {CBP} = \widehat {BCF}\] (hai góc so le trong của \(CF\parallel PB\)).

– Xét đường tròn đường kính \(BC\), có: \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (hai góc nội tiếp chắn ).

– Xét đường tròn đường kính \(AH\), có: \[\widehat {BEF} = \widehat {MAH}\] (hai góc nội tiếp chắn ).

Do đó \[\widehat {CAP} = \widehat {MAH}\].

Vì \(\Delta AMN\) cân tại \(A\) có \(AI\) là đường trung tuyến nên \(AI\) cũng là đường phân giác của \(\Delta AMN\).

Suy ra \(\widehat {MAI} = \widehat {NAI}\).

Mà \(\widehat {MAI} = \widehat {MAH} + \widehat {HAI};\widehat {NAI} = \widehat {CAP} + \widehat {PAI}\) và \[\widehat {CAP} = \widehat {MAH}\] (chứng minh trên).

Do đó \[\widehat {HAI} = \widehat {PAI}\].

Vì vậy \[\widehat {HAP} = 2\widehat {HAI}\].

Xét đường tròn đường kính \(AH\), có: \(\widehat {HJI} = 2\widehat {HAI}\) ( góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn ).

Mà \[\widehat {HAP} = 2\widehat {HAI}\] (chứng minh trên).

Suy ra \(\widehat {HJI} = \widehat {HAP}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó \(JI\,{\rm{//}}\,AP\) (6)

Ta có:

– Vì \[E,F \in \left( J \right)\] nên \[JE = JF\].

– Vì \[E,F \in \left( K \right)\] nên \[KE = KF\].

Do đó \[JK\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[EF\].

Suy ra \[JK \bot EF\].

Mà \[AP \bot EF\] (chứng minh trên).

Vì vậy \(JK\,{\rm{//}}\,AP\) (7)

Từ (6) và (7), ta thu được ba điểm \(I,J,K\) thẳng hàng.