Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) thoả mãn \(f'\left( x \right) = \left( {1 - {x^2}} \right)\left( {x - 5} \right)\). Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát và đánh giá

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\)

Có: \(g'\left( x \right) = 3.f'\left( {x + 3} \right) - 3{x^2}\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 3.\left[ {1 - {{(x + 3)}^2}} \right]\left( {x + 3 - 5} \right) = 3\left( {1 - {x^2} - 6x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\( = 3\left( { - {x^2} - 6x - 8} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{ - {x^2} - 6x - 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và (2;\( + \infty \))