Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Chia các trường hợp của \(m\). Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt

Lời giải

Trường hợp 1: \(m = 0\)

Thay \(m = 0\) vào phương trình hàm số ta có: \(y = {x^2} - 1\)

Xét hàm số: \(y = {x^2} - 1\)

\(y' = 2x,y' = 0 \Rightarrow x = 0\)

Hàm số \(y = {x^2} - 1\) có 1 cực trị \(x = 0\) nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: \(m \ne 0\)

Xét hàm số: \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình

\(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\) (*) có ba nghiệm phân biệt.

Ta có: \(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m{x^3} - 2m{x^2} + {x^2} + 2mx - m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{x^3} - 2{x^2} + 2x - 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {m{x^2} - mx + m + x + 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

Để phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \(m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} > 0}\\{m{{.1}^2} - \left( {m - 1} \right).1 + 1 + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m - 1)}^2} - 4m\left( {m + 1} \right) > 0}\\{3 \ne 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow - 3{m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3} < m < \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\)