Cho hàm số: $y = f\left(x\right) = x^3-3x +1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $f(\sin x+1) =m$ có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc $[-\mathrm{\pi }; \frac{3\mathrm{\pi }}{2}]$? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Thay \(x = {\rm{sin}}x + 1\) vào hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Khảo sát hàm vừa nhận được

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = {({\rm{sin}}x + 1)^3} - 3\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) + 1 = {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x + 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 1\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x.{\rm{cos}}x + 6{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x = 3{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x\left( {{\rm{sin}}x + 2} \right)\).

Với \(x \in \left[ { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) thì \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - \pi ;\frac{{ - \pi }}{2};0;\frac{\pi }{2};\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = m\) có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) khi \( - 1 < m < 1\) mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\)