Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}\) và \(B = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - \sqrt x + 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

1. Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

2. Chứng minh: \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

3. Khi \(A > 0\), hãy so sánh \(B\) với \(3\).

1. Gọi \(J\) là trung điểm của \(AM\).

Vì \(\Delta AEM\) vuông tại \(E\) có \(J\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\Delta AEM\) nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\) (1)

Vì \(\Delta AFM\) vuông tại \(F\) có \(J\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\Delta AFM\) nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\) (2)

Từ (1), (2), ta thu được tứ giác \(AEMF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\).

2. Xét đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\), có: \(\widehat {MEF} = \widehat {MAF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), có: \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (4)

Từ (3), (4), ta suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\).

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {MFE} = \widehat {KCB}\).

Xét \(\Delta EMF\) và \(\Delta BKC\), có:

\(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {MFE} = \widehat {KCB}\) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{ME}}{{BK}}\).

Vì vậy \(BC.ME = EF.BK\) (điều phải chứng minh).

Vậy \(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\) và \(BC.ME = EF.BK\).

3.

Vì \[OA = OB = R\] nên tam giác \[OAB\] cân tại \[O\].

Suy ra \[\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\].

Xét tam giác \[OAB\], có: \[\widehat {AOB} + \widehat {OAB} + \widehat {OBA} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \[2\widehat {OAB} = 180^\circ - \widehat {AOB}\].

Do đó \[\widehat {OAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2}\].

Đường tròn \(\left( O \right)\), có: \[\widehat {AOB}\] là góc ở tâm chắn và \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn .

Suy ra \[\widehat {AOB} = 2.\widehat {ACB}\].

Ta có: \(\widehat {OAK} = \widehat {BAK} - \widehat {BAO}\)

\( = \widehat {BAM} - \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2}\)

\( = \widehat {BAM} - \frac{{180^\circ - 2.\widehat {ACB}}}{2}\)

\( = \widehat {BAM} - \left( {90^\circ - \widehat {ACB}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \left( {90^\circ - \widehat {BAM}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \left( {90^\circ - \widehat {EFM}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \widehat {AFE}\) (5)

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \left\{ {\left( {{X_1};{V_1}} \right);\left( {{X_2};{V_1}} \right);\left( {{X_3};{V_1}} \right);\left( {{X_1};{V_2}} \right);\left( {{X_2};{V_2}} \right);\left( {{X_3};{V_2}} \right);\left( {{X_1};{X_2}} \right);\left( {{X_1};{X_3}} \right);\left( {{X_2};{X_3}} \right);} \right.\)

\(\left. {\left( {{V_2};{V_1}} \right)} \right\}\).

Suy ra không gian mẫu của phép thử có \(10\) phần tử.

Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Có \(4\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(\left( {{X_1};{X_2}} \right);\left( {{X_1};{X_3}} \right);\left( {{X_2};{X_3}} \right);\left( {{V_2};{V_1}} \right)\).

Xác suẩt của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{2}{5}\).