Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}\) và \(B = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - \sqrt x + 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

1. Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

2. Chứng minh: \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

3. Khi \(A > 0\), hãy so sánh \(B\) với \(3\).

1. Gọi \(J\) là trung điểm của \(AM\).

Vì \(\Delta AEM\) vuông tại \(E\) có \(J\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\Delta AEM\) nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\) (1)

Vì \(\Delta AFM\) vuông tại \(F\) có \(J\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\Delta AFM\) nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\) (2)

Từ (1), (2), ta thu được tứ giác \(AEMF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\).

2. Xét đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\), có: \(\widehat {MEF} = \widehat {MAF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), có: \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (4)

Từ (3), (4), ta suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\).

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {MFE} = \widehat {KCB}\).

Xét \(\Delta EMF\) và \(\Delta BKC\), có:

\(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {MFE} = \widehat {KCB}\) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{ME}}{{BK}}\).

Vì vậy \(BC.ME = EF.BK\) (điều phải chứng minh).

Vậy \(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\) và \(BC.ME = EF.BK\).

3.

Vì \[OA = OB = R\] nên tam giác \[OAB\] cân tại \[O\].

Suy ra \[\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\].

Xét tam giác \[OAB\], có: \[\widehat {AOB} + \widehat {OAB} + \widehat {OBA} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \[2\widehat {OAB} = 180^\circ - \widehat {AOB}\].

Do đó \[\widehat {OAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2}\].

Đường tròn \(\left( O \right)\), có: \[\widehat {AOB}\] là góc ở tâm chắn và \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn .

Suy ra \[\widehat {AOB} = 2.\widehat {ACB}\].

Ta có: \(\widehat {OAK} = \widehat {BAK} - \widehat {BAO}\)

\( = \widehat {BAM} - \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2}\)

\( = \widehat {BAM} - \frac{{180^\circ - 2.\widehat {ACB}}}{2}\)

\( = \widehat {BAM} - \left( {90^\circ - \widehat {ACB}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \left( {90^\circ - \widehat {BAM}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \left( {90^\circ - \widehat {EFM}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \widehat {AFE}\) (5)

Gọi \(x\,\,\left( m \right)\) là chiều rộng đáy bể.

Điều kiện: \[x > 0\].

Vì đáy bể có chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài của đáy bể là: \(2x\,\,\left( m \right)\)

Chiều cao của bể là: \(\frac{{4500}}{{2x.x}} = \frac{{4500}}{{2{x^2}}} = \frac{{2250}}{{{x^2}}}\,\,\,\left( m \right)\)

Diện tích của đáy bể là: \(x.2x = 2{x^2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích các bức tường xung quanh bể là: \(\left( {x + 2{\rm{x}}} \right).2.\frac{{2250}}{{{x^2}}} = 6x.\frac{{2250}}{{{x^2}}} = \frac{{13500}}{x}\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy bể và các bức tường xung quanh bể là: \(2{x^2} + \frac{{13500}}{x}\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Xét biểu thức: \(M = 2{x^2} + \frac{{13500}}{x}\)

\( = \left( {2{x^2} - 60x + 450} \right) + \left( {60x + \frac{{13500}}{x}} \right) - 450\)

\( = 2{\left( {x - 15} \right)^2} + 60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) - 450\)

Ta có: \[{\left( {x - 15} \right)^2} \ge 0\], với \[x > 0\].

Suy ra \(2{\left( {x - 15} \right)^2} \ge 0\), với \[x > 0\] (1)

Vì \[x > 0\] nên \[\frac{1}{x} > 0\].

Suy ra \[\frac{{225}}{x} > 225.0 = 0\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \[x\] và \[\frac{{225}}{x}\], ta được:

\(x + \frac{{225}}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{{225}}{x}} = 2\sqrt {225} = 2.15 = 30\).

Suy ra \(60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) \ge 60.30 = 1800\) (2)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: \(2{\left( {x - 15} \right)^2} + 60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) \ge 0 + 1800 = 1800\).

Do đó \(2{\left( {x - 15} \right)^2} + 60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) - 450 \ge 1800 - 450 = 1350\).

Vì vậy \(M \ge 1350\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 15 = 0\) và \(x = \frac{{225}}{x}\).

Khi đó \(x = 15\) và \({x^2} = 225 = {15^2} = {\left( { - 15} \right)^2}\).

Suy ra \(x = 15\) và \(x = 15\) hoặc \(x = - 15\).

So với điều kiện \[x > 0\], ta nhận \(x = 15\).

Để chi phí thấp nhất để đảm bảo xây được bể nước thì diện tích phần xây dựng bể nước nhỏ nhất.

Tức là, diện tích phần xây dựng bể nước (bao gồm đáy bể và các bức tường xung quanh bể) bằng \(1350\,\,{m^2}\).

Chi phí thấp nhất để đảm bảo xây được bể nước là: \(1350.500\,\,000 = 675\,\,000\,\,000\) (đồng).

Vậy chi phí thấp nhất để đảm bảo xây được bể nước là \(675\,\,000\,\,000\) đồng.