Người ta cần xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(4500\,\,{m^3}\) (phần xây dựng gồm đáy bể và các bức tường xung quanh bể). Biết chiều dài gấp đôi chiều rộng và chi phí xây bể là \(500\,000\) đồng/\({m^2}\). Hãy xác định chi phí thấp nhất để đảm bảo xây được bể nước.

1. Gọi \(J\) là trung điểm của \(AM\).

Vì \(\Delta AEM\) vuông tại \(E\) có \(J\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\Delta AEM\) nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\) (1)

Vì \(\Delta AFM\) vuông tại \(F\) có \(J\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\Delta AFM\) nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\) (2)

Từ (1), (2), ta thu được tứ giác \(AEMF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\).

2. Xét đường tròn \(\left( {J;\frac{{AM}}{2}} \right)\), có: \(\widehat {MEF} = \widehat {MAF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), có: \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (4)

Từ (3), (4), ta suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\).

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {MFE} = \widehat {KCB}\).

Xét \(\Delta EMF\) và \(\Delta BKC\), có:

\(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {MFE} = \widehat {KCB}\) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{ME}}{{BK}}\).

Vì vậy \(BC.ME = EF.BK\) (điều phải chứng minh).

Vậy \(\widehat {KBC} = \widehat {MEF}\) và \(BC.ME = EF.BK\).

3.

Vì \[OA = OB = R\] nên tam giác \[OAB\] cân tại \[O\].

Suy ra \[\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\].

Xét tam giác \[OAB\], có: \[\widehat {AOB} + \widehat {OAB} + \widehat {OBA} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \[2\widehat {OAB} = 180^\circ - \widehat {AOB}\].

Do đó \[\widehat {OAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2}\].

Đường tròn \(\left( O \right)\), có: \[\widehat {AOB}\] là góc ở tâm chắn và \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn .

Suy ra \[\widehat {AOB} = 2.\widehat {ACB}\].

Ta có: \(\widehat {OAK} = \widehat {BAK} - \widehat {BAO}\)

\( = \widehat {BAM} - \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2}\)

\( = \widehat {BAM} - \frac{{180^\circ - 2.\widehat {ACB}}}{2}\)

\( = \widehat {BAM} - \left( {90^\circ - \widehat {ACB}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \left( {90^\circ - \widehat {BAM}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \left( {90^\circ - \widehat {EFM}} \right)\)

\( = \widehat {ACB} - \widehat {AFE}\) (5)

1. Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {25} - 1}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 1}}{{5 + 3}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(A = \frac{1}{2}\) khi \(x = 25\).

2. Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(B = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - \sqrt x + 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x - \sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\sqrt x + x + 2\sqrt x + 2 - 3\sqrt x + 3 - x + \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Vậy \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) ( điều phải chứng minh).

3. Khi \(A > 0\), hãy so sánh \(B\) với \(3\).

Ta có: \(A > 0\).

Tức là, \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} > 0\).

Suy ra \(\sqrt x - 1 > 0\) (do \(\sqrt x + 3 \ge 3 > 0\), với \(x \ge 0;x \ne 1\)).

Khi đó \(\sqrt x > 1\).

Vì vậy \(x > 1\).

Xét hiệu \(B - 3 = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - 3\)

\( = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x + 1 - 3\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}\)

\( = \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 1}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}}\).

Ta có: \(\sqrt x - 1 > 0\) và \({\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \ge 0\), với \(x > 1\).

Suy ra \(\frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} \ge 0\), với \(x > 1\).

Do đó \(B - 3 \ge 0\).

Vì vậy \(B \ge 3\).

Vậy khi \(A > 0\) thì \(B \ge 3\).