Một cửa sổ hình tròn có chu vi 3,29 m. Người ta trang trí bằng cách đặt một khung hình tam giác đều nội tiếp trong khung tròn cửa sổ (Hình vẽ 1).

Hình vẽ 1

(a) Tính bán kính khung tròn (Làm tròn đến hàng phần trăm; đơn vị mét).

(b) Tính chu vi khung tam giác đều (Làm tròn đến hàng phần trăm; đơn vị mét).

*Lưu ý: Học sinh không phải vẽ hình 1 vào bài làm.

a) Xét \[\Delta BCD\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta BCD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]

Suy ra \[B,\,\,C,\,\,D\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Chứng minh tương tự với \[\Delta BCE\] ta có \[B,\,\,C,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Như vậy, \[B,\,\,C,\,\,D,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\], suy ra tứ giác \(BDEC\) nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của \[BC\] và bán kính bằng \(\frac{{BC}}{2}.\)

b) Do tứ giác \(BDEC\) nội tiếp nên \(\widehat {DBC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {AED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {DBC} = \widehat {AED}.\)

Xét \[\Delta AED\] và \[\Delta ABC\] có:

\(\widehat A\) là góc chung và \(\widehat {ABC} = \widehat {AED}.\)

Do đó (g.g).

c) Do hay nên \(\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có \(\cos \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Như vậy, \[\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \cos \widehat {DAC} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.\]

Vậy \(DE = \frac{1}{2}BC.\)

a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(A\left( { - 2;\,\,2} \right),\) \(B\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(O\left( {0;\,\,0} \right),\) \(C\left( {1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(D\left( {2;\,\,2} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh \(O,\) đi qua các điểm trên và có dạng như hình sau:

b) Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thuộc \[\left( P \right)\] có tung độ bằng 2 lần hoành độ. Khi đó, \({y_0} = 2{x_0}.\)

Do đó \(M\left( {{x_0};\,\,2{x_0}} \right)\) thuộc \[\left( P \right)\]: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) nên ta có:

\(2{x_0} = \frac{1}{2}x_0^2\)

\(x_0^2 - 4{x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {{x_0} - 4} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 4\).

Với \({x_0} = 0\) ta có \({y_0} = 0,\) ta được điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right).\)

Với \({x_0} = 4\) ta có \({y_0} = 8,\) ta được điểm \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)