Cho phương trình \(2{x^2} + x - 1 = 0\) (*).

(a) Chứng tỏ phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

(b) Không bằng cách tìm nghiệm \({x_1},{x_2}\). Tính \(M = x_1^2 + x_2^2\).

a) Xét \[\Delta BCD\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta BCD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]

Suy ra \[B,\,\,C,\,\,D\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Chứng minh tương tự với \[\Delta BCE\] ta có \[B,\,\,C,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Như vậy, \[B,\,\,C,\,\,D,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\], suy ra tứ giác \(BDEC\) nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của \[BC\] và bán kính bằng \(\frac{{BC}}{2}.\)

b) Do tứ giác \(BDEC\) nội tiếp nên \(\widehat {DBC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {AED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {DBC} = \widehat {AED}.\)

Xét \[\Delta AED\] và \[\Delta ABC\] có:

\(\widehat A\) là góc chung và \(\widehat {ABC} = \widehat {AED}.\)

Do đó (g.g).

c) Do hay nên \(\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có \(\cos \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Như vậy, \[\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \cos \widehat {DAC} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.\]

Vậy \(DE = \frac{1}{2}BC.\)

a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(A\left( { - 2;\,\,2} \right),\) \(B\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(O\left( {0;\,\,0} \right),\) \(C\left( {1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(D\left( {2;\,\,2} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh \(O,\) đi qua các điểm trên và có dạng như hình sau:

b) Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thuộc \[\left( P \right)\] có tung độ bằng 2 lần hoành độ. Khi đó, \({y_0} = 2{x_0}.\)

Do đó \(M\left( {{x_0};\,\,2{x_0}} \right)\) thuộc \[\left( P \right)\]: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) nên ta có:

\(2{x_0} = \frac{1}{2}x_0^2\)

\(x_0^2 - 4{x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {{x_0} - 4} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 4\).

Với \({x_0} = 0\) ta có \({y_0} = 0,\) ta được điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right).\)

Với \({x_0} = 4\) ta có \({y_0} = 8,\) ta được điểm \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)