Cho \[\Delta ABC\] có 3 góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right);\) vẽ các đường cao \(BE\) và \(CD\) của \[\Delta ABC\] (\(E\) thuộc \(AC\); \(D\) thuộc \(AB\)).

(a) Chứng minh tứ giác \(BDEC\) nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BDEC\).

(b) Chứng minh \[\Delta AED\] và \[\Delta ABC\] đồng dạng.

(c) Trường hợp góc \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính độ dài đoạn \(DE\) theo \(R\).

a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(A\left( { - 2;\,\,2} \right),\) \(B\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(O\left( {0;\,\,0} \right),\) \(C\left( {1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\) \(D\left( {2;\,\,2} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh \(O,\) đi qua các điểm trên và có dạng như hình sau:

b) Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thuộc \[\left( P \right)\] có tung độ bằng 2 lần hoành độ. Khi đó, \({y_0} = 2{x_0}.\)

Do đó \(M\left( {{x_0};\,\,2{x_0}} \right)\) thuộc \[\left( P \right)\]: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) nên ta có:

\(2{x_0} = \frac{1}{2}x_0^2\)

\(x_0^2 - 4{x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {{x_0} - 4} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 4\).

Với \({x_0} = 0\) ta có \({y_0} = 0,\) ta được điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right).\)

Với \({x_0} = 4\) ta có \({y_0} = 8,\) ta được điểm \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(M\left( {4;\,\,8} \right).\)

a) Phương trình \(2{x^2} + x - 1 = 0\) có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 1} \right) = 5 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{1}{2}\\{x_1}{x_2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Do đó, \(M = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.\)