Đọc đoạn thơ và trả lời câu hỏi dưới đây:

Nom Đoài rồi lại ngắm Đông

Bề lo sương táp, bề phòng chim ăn

Quả vàng nằm giữa cành xuân

Mải mê góp mật, chuyên cần tỏa hương

Bà ơi, thương mấy là thương

Vắng con xa cháu tóc sương da mồi

Bà như quả ngọt chín rồi

Càng thêm tuổi tác càng tươi lòng vàng.

(Võ Thanh An, Quả ngọt cuối mùa)

Hình ảnh so sánh ở hai câu thơ cuối diễn tả điều gì?

Phương pháp giải.

Gọi tiếp điểm theo tham số, viết phương trình tiếp tuyến, lập phương trình diện tích tìm tham số thỏa mãn.

Giải chi tiết.

Ta có \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{{{{(x - 2)}^2}}}.\)

Gọi tiếp điểm là \(A\left( {a + 2,\;2 + \frac{5}{a}} \right).\)

Khi đó tiếp tuyến tại A có dạng \(y = - \frac{5}{{{a^2}}}(x - a - 2) + 2 + \frac{5}{a} = - \frac{{5x}}{{{a^2}}} + \frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}.\)

Tiếp tuyến cắt trục Oy tại \(E\left( {0,\;\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right),\)cắt trục Ox tại \(F\left( {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5},\;0} \right).\)

Diện tích tam giác OEF bằng \(\frac{1}{2}\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right|\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5}} \right| = \frac{2}{5}.\)

\( \Leftrightarrow {(2{a^2} + 10a + 10)^2} = 4{a^4}.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{a^2} + 10a + 10 = 2a,}\\{2{a^2} + 10a + 10 = - 2a.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1,}\\{a = - 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn hay có 2 điểm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với hàm số \(y = f\left( x \right)\), tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) có phương trình:

           \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

o   Giao điểm với trục hoành: \(x = {x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\)

o   Giao điểm với trục tung:\(\;y = f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)\)

o   Diện tích tam giác \(OEF = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_E}} \right| \cdot \left| {{y_F}} \right|\;\)

·        Luôn nhớ diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến \( = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}} \right| \cdot \left| {f\left( {x\_0} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)} \right|\)

·        Khi đề yêu cầu diện tích bằng số cụ thể, chỉ cần giải phương trình theo \({x_0}\)

Phương pháp giải

Phân tích vectơ.

Giải chi tiết

Vẽ \(ME\parallel SA \Rightarrow ME \bot (ABCD)\)

Do đó\(DM \bot BN \Leftrightarrow DE \bot BN\). Đặt\(AN = xAD\).

Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)

Vì \(BN \bot DE\) nên:

\(\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 3xA{D^2} - A{B^2} + (3 + x)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\)

Vì tam giác ABD đều nên:$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=AB\cdot AD\cdot \cos BAD=a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}$

Suy ra:\( - 3a{x^2} - {a^2} + \frac{{{a^2}(3 + x)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \Rightarrow AN = \frac{2}{5}AD\)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Nếu thì N nằm trên AD với tỉ lệ \(AN:ND = k:1\)
• Đặt tham số cho điểm di động, chuyển điều kiện về vectơ/toạ độ.