Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.
Cho các số thực \(a,b > 1\). Biết phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {ax} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}\left( {bx} \right) = 2025\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x_1}{x_2}\left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)\) là\(\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\).
Đáp án: ___

Đáp án đúng là: 12

Phương pháp giải

Tính chất của logarit biến đổi tính \({x_1}{x_2} = \frac{1}{{ab}}\) từ đó tính P .

Giải chi tiết

\(\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x + 1} \right) \cdot \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}x + 1} \right) = 2025 \Leftrightarrow \left( {\frac{{{\rm{ln}}x}}{{{\rm{ln}}a}} + 1} \right) \cdot \left( {\frac{{{\rm{ln}}x}}{{{\rm{ln}}b}} + 1} \right) = 2025\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\rm{ln}}a \cdot {\rm{ln}}b}} \cdot {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{ln}}x \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{ln}}a}} + \frac{1}{{{\rm{ln}}b}}} \right) + 1 - 2025 = 0\)\({\rm{ln}}\left( {{x_1}} \right) + {\rm{ln}}\left( {{x_2}} \right) = \frac{{ - \frac{1}{{{\rm{ln}}a}} - \frac{1}{{{\rm{ln}}b}}}}{{\frac{1}{{{\rm{ln}}a \cdot {\rm{ln}}b}}}} = - {\rm{ln}}b - {\rm{ln}}\alpha = - {\rm{ln}}ab \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = \frac{1}{{ab}}\)\( \Rightarrow P = \frac{1}{{ab}} \cdot \left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right) \ge 2\sqrt {4{a^2} + 9{b^2}} \cdot \frac{1}{{ab}} = 12\)

Đáp án cần điền là: 12