Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD\). \(A'B'C'D'\) có \(AB = 2,AD = 3,AA' = 4\). Gọi M là trung điểm của \(B'C'\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(DC'D'\). Khi đó \(2.\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AG} + 5.\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} \) bằng

Phương pháp giải

Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và thay vào biểu thức tính \(2.\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AG} + 5.\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\)
vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {B'M} = \frac{1}{2}\overrightarrow {B'C'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
Nên ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{n}\overrightarrow {AD} \).

Ta có: \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} \) ( vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DCD'\) )
Mà \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \) ( vì \(ADD'A'\) là hình bình hành),
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (do \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) là hình hộp)
Nên \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AA'} + 3\overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \).
vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) ( các vectơ đôi một vuông góc)
Nên ta có:
\(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AG} = \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{2}A{D^2} + \frac{2}{3}A{A^{'2}}\)\( = \frac{1}{3} \cdot {2^2} + \frac{1}{2} \cdot {3^2} + \frac{2}{3} \cdot {4^2} = \frac{{33}}{2}\)\( \Rightarrow 2 \cdot \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AG} + 5 \cdot \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BD} = 33\)

Đáp án cần chọn là: D