Số giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \[y = \sqrt {1 - {m^2} + 2m\sin x} \] xác định trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là

Phương pháp giải:

Hàm số xác định khi biểu thức trong căn không âm. Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

Giải chi tiết:

Hàm số xác định khi:

            \[1 - {m^2} + 2m\sin x \ge 0,\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Tương đương:

   \[2m\sin x \ge {m^2} - 1,\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].{\rm{ }}*\]

Trường hợp 1. \(m > 0\).

Từ \((*)\) suy ra:

           \[\sin x \ge \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Do \(\sin x \in [0;1]\) nên:

\[\frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \le 0 \Leftrightarrow 0 < m \le 1.\]

Trường hợp 2. \(m < 0\).

Bất đẳng thức \((*)\) tương đương:

            \[\sin x \le \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Vì \(\sin x \le 1\) nên:

\[\frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1 - 2m}}{{2m}} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 - 2m \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \le m < 0.\]

Trường hợp 3. \(m = 0\).

Khi đó:

                                                                            \[y = \sqrt 1 ,\]

luôn xác định trên \(\mathbb{R}\).

Vậy:

                                                                    \[1 - \sqrt 2 \le m \le 1.\]

Các giá trị nguyên của \(m\) là:

                                                                             \[m = 0,\;1.\]

Có \(2\) giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn B.