Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\). Phương trình đường thẳng \({\rm{d'}}\) đối xứng với d qua \(\left( {\rm{P}} \right)\) là

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Bước 1: Lấy điểm \(B\left( {0; - 1;2} \right)\) thuộc d.

Bước 2: Tìm giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\left( P \right)\)

Bước 3: Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên (\(P\)), \(B'\) là điểm đối xứng \(B\) qua (\(P\)). Tìm d'

Lời giải

Bước 1: Lấy điểm \(B\left( {0; - 1;2} \right)\) thuộc d.

Bước 2: Tìm giao điểm A của d và \(\left( {\rm{P}} \right)\)

Gọi A là giao điểm của d và \(\left( {\rm{P}} \right)\).

Khi đó \(A\left( {t; - 1 + 2t;2 - t} \right)\). Thay vào \(\left( {\rm{P}} \right)\) ta được: \(t - 1 + 2t + 2 - t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)\( \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right)\)

Bước 3: Tìm d'

Gọi H là hình chiếu của B lên \(\left( {\rm{P}} \right)\), \({\rm{B'}}\) là điểm đối xứng B qua \(\left( P \right)\).

Khi đó H là trung điểm của \({\rm{BB'}}\)

Đường thẳng BH đi qua \({\rm{B}}\left( {0; - 1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow H\left( {t; - 1 + t;2 + t} \right)\). Thay vào \(\left( {\rm{P}} \right)\) ta được: \(t - 1 + t + 2 + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow H\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right) \Rightarrow B'\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)

Vecto chỉ phương của \({\rm{AB'}}\) là: \(AB' = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\)

Đường thẳng \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{7}\)