Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(3f\left( {{x^2} - 4x} \right) = m + 5\) có ít nhất 5 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là:

 

 

Đáp án đúng là \({\bf{B}}\)

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {x^2} - 4x\), với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\) (*).

- Xác định mỗi nghiệm \(t\) cho bao nhiêu nghiệm \(x\) trên từng khoảng cụ thể.

- Tìm điều kiện về số nghiệm của phương trình (*) để phương trình ban đầu có ít nhất 5 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Đặt \(t = {x^2} - 4x\), với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\), khi đó phương trình trở thành \(3f\left( t \right) = m + 5 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{m + 5}}{3}\)   (*).

Ta có \(t'\left( x \right) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left( {0; + \infty } \right)\).

BBT:

Dựa vào BBT đề bài cho, ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = \frac{{m + 5}}{3}\) có tối đa 4 nghiệm, mỗi nghiệm \(t \in \left( { - 4;0} \right)\) cho 2 nghiệm \(x\) phân biệt, mỗi nghiệm \(t \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 4} \right\}\) cho 1 nghiệm \(x\).

Để phương trình ban đầu có ít nhất 5 nghiệm thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì phương trình (*):

TH1: Có 1 nghiệm \(t \in \left( { - 4;0} \right)\) và 3 nghiệm \(t \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 4} \right\}\) (ktm).

TH1: Có 2 nghiệm \(t \in \left( { - 4;0} \right)\) và 1 nghiệm \(t \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 4} \right\}\) (ktm).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < \frac{{m + 5}}{3} \le 2}\\{ - 3 \le \frac{{m + 5}}{3} \ne - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 6 < m + 5 \le 5}\\{ - 9 \le m + 5 \ne - 6}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 11 < m \le 0}\\{ - 14 \le m \ne  - 11}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left[ { - 14;0} \right]\backslash \left\{ { - 11} \right\}} \right.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Có 14 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.