Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2z - 3 = 0\) và điểm \(A\left( {2;2;2} \right)\). Biết rằng từ \(A\) có thể kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\), đồng thời các tiếp điểm luôn thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(ax + by + cz - 5 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Gọi tọa độ điểm C.

\(H\) là trực tâm \(\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0}\\{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2} + 3} = 2\).

Nhận thấy: \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng vuông góc với \(AI\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Kẻ một tiếp tuyến \(AB\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) với \(B\) là tiếp điểm.

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \(ABI\). Khi đó \(H \in \left( \alpha \right)\).

Ta có: \(IA = 3\). Tam giác \(ABI\) vuông tại \(B\) nên \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

Ta có: \(I{B^2} = IH.IA \Rightarrow IH = \frac{{I{B^2}}}{{IA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow IH = \frac{4}{9}.IA\).

Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \frac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = \frac{4}{9}.2}\\{y - 0 = \frac{4}{9}.2}\\{z - 1 = \frac{4}{9}.1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{9}}\\{y = \frac{8}{9}}\\{z = \frac{{13}}{9}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{8}{9};\frac{8}{9};\frac{{13}}{9}} \right)} \right.} \right.\).

Do đó \(\left( \alpha \right):2.\left( {x - \frac{8}{9}} \right) + 2.\left( {y - \frac{8}{9}} \right) + 1.\left( {z - \frac{{13}}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).