Cho hàm số \[y = f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{x - 2}}.\]

Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right)\]là bao nhiêu?

(nhập đáp án vào ô trống)

Phương pháp giải:

Xét tập xác định của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hàm \(f(x)\) là:

                                                                      \[x \ne 2.\]

Xét hàm:

                                  \[y = f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right),\]

ta có các điều kiện:

                                    \[\sqrt {|{x^2} - 1|} \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1,\]

\[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \ne 2 \Rightarrow {x^2} = 4({x^2} - 1) \Rightarrow x = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\]

Vậy tập xác định là:

                                  \[x \ne \pm 1,\quad x \ne \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\]

Tiệm cận đứng

Khi \(x \to {1^ + }\) thì:

          \[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to  + \infty \Rightarrow f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right) \to + \infty ,\]

suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng.

Khi \(x \to {( - 1)^ - }\) thì:

           \[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to - \infty \Rightarrow f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right) \to - \infty ,\]

suy ra \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.

Khi \(x \to \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) thì:

\[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to 2 \Rightarrow f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right) \to \pm \infty ,\]

suy ra

                                                   \[x = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]

là các tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang

Khi \(x \to \pm \infty \):

   \[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to \pm 1 \Rightarrow y \to f(1) = \frac{{{1^2} - 3 + 4}}{{1 - 2}} = - 2.\]

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang:

                                                                     \[y = - 2.\]

Kết luận

Số tiệm cận của đồ thị là: 6