Người ta thấy nước mỗi giờ chảy vào một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là \(h = \frac{2}{7}\) m. Giả sử \(h(t)\) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm \(t\) (giây), biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ \(t\) là \[h'(t) = \frac{1}{{500}}\sqrt {t + 3} \]và lúc đầu hồ không có nước. Hỏi sau khoảng bao lâu thì nước bơm được \(\frac{5}{7}\) độ sâu của hồ? 

Phương pháp giải: Liệt kê các kết quả xảy ra

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Omega = \{ SS,SN,NS,NN\} \Rightarrow n(\Omega ) = 4\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai lần đều là mặt sấp”. \( \Rightarrow A = \{ SS\} \).

Gọi \(B\) là biến cố: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp”

\( \Rightarrow B = \{ SN,SS\} \Rightarrow n(B) = 2 \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Khi đó: \(A \cap B = \{ SS\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1 \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{4}\).

Vậy xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp biết rằng lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp là:

\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận vecto pháp tuyến làm vecto chỉ phương.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\overrightarrow {AB} = (3; - 6;3)\overrightarrow {CD} = (1;2;1){\rm{ }} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = ( - 12;0;12).\]                        

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD, chọn \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1;0; - 1)\) là véctơ pháp tuyến của \((\alpha )\).

Phương trình tổng quát \((\alpha )\):

                  \[1(x - 1) - (z - 6) = 0 \Leftrightarrow x - z + 5 = 0.\]

Đáp án cần chọn là: C