Điền vào ô trống

Cho hàm số

    \[f(x) = \frac{1}{{2\sqrt x + 2}}\;{\rm{tr\^e n }}(0; + \infty ).\]

a) Một nguyên hàm của \(f(x)\) là

b) Biết

    \[\int_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt x + 2 + (x + 2)\sqrt x }}} = \sqrt a + \sqrt b - c\]

với a,b,c là các số nguyên dương.

Khi đó \(P = a + b + c = \)

Phương pháp giải: Liệt kê các kết quả xảy ra

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Omega = \{ SS,SN,NS,NN\} \Rightarrow n(\Omega ) = 4\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai lần đều là mặt sấp”. \( \Rightarrow A = \{ SS\} \).

Gọi \(B\) là biến cố: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp”

\( \Rightarrow B = \{ SN,SS\} \Rightarrow n(B) = 2 \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Khi đó: \(A \cap B = \{ SS\} \Rightarrow n(A \cap B) = 1 \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{4}\).

Vậy xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp biết rằng lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp là:

\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận vecto pháp tuyến làm vecto chỉ phương.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\overrightarrow {AB} = (3; - 6;3)\overrightarrow {CD} = (1;2;1){\rm{ }} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = ( - 12;0;12).\]                        

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD, chọn \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1;0; - 1)\) là véctơ pháp tuyến của \((\alpha )\).

Phương trình tổng quát \((\alpha )\):

                  \[1(x - 1) - (z - 6) = 0 \Leftrightarrow x - z + 5 = 0.\]

Đáp án cần chọn là: C