Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\,\,\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\]. Kẻ \[BD \bot AC\] tại \[D,\] kẻ \[CE \bot AB\] tại \[E\]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[BD\] và \[CE\].

Khi đó:

a) Đúng.

Ta có: \[\Delta ABC\] đều nên \[AB = BC = CA\] mà \[AM = BN = CP\].

Suy ra \[AB - AM = BC - BN = CA - CP\] hay \[MB = NC = PA\].

b) Sai.

Xét \[\Delta MBN\] và \[\Delta PCN\] có:

\[\widehat {MBN} = \widehat {NCP} = 60^\circ \]

\[BM = CN\]

\[BN = CP\]

Do đó, \[\Delta MBN = \Delta NCP\] (c.g.c)

Suy ra \[MN = NP\] (1)

d) Đúng.

Xét \[\Delta PAM\] và \[\Delta PCN\], có:

\[\widehat {MAP} = \widehat {NCP} = 60^\circ \]

\[NC = PA\]

\[AM = CP\]

Do đó, \[\Delta PAM = \Delta NCP\] (c.g.c)

Suy ra \[PM = NP\].

d) Đúng.

Từ phần b) và c) có \[PM = NP = MN\], do đó \[\Delta MNP\] đều.

Đáp án: 100

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác) nên \(\widehat B + \widehat C = 140^\circ \).

Lại thấy \(\widehat B - \widehat C = 20^\circ \), do đó \(B = \frac{{140^\circ + 20^\circ }}{2} = 80^\circ \) và \(\widehat C = 60^\circ \).

Xét \(\Delta AEB\) cân tại \(A\) (do \(AE = AB\)) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ABE}\) (tính chất của tam giác cân) (1)

Lại có \(\widehat {BAC}\) là góc ngoài tam giác \(AEB\) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABE} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ \).

Do đó, \(\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 80^\circ + 20 = 100^\circ \).